Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 13 26. 1.2001
Losungsvorshlage
1. Fluhtbahnen (4 Punkte)
Analog zur Vorlesung: Mit
x=ros(
0
) und y=rsin(
0 )
gilt
r()+x=p;
und darausfolgt mitquadratisher Erganzung
( 2
1)
x
p
2
1
2
y 2
= p
2
2
1
Fur>1 wird das zu
x p
2
1
2
p
2
1
2
y 2
p
p
2
1
2
=1
umgeformt,also
(x x
0 )
2
a 2
y 2
b 2
=1
mit
x
0
= p
2
1
; a= p
2
1
; b = p
p
2
1 :
Fur1 lautet dieBahnkurve naherungsweise
r()= p
os
Wegen x=ros bedeutet das
x= p
=onst.
(a) Fureine Parabel istdie Exzentrizitat=1, alsodieGesamtenergie
E =
2p (1
2
)=0
Das bedeutet
0=
2 v
2
0
r
0
also
v
0
= r
2
r
0 :
(b) Fureine Kreisbahn ist =0und p=r
0 ,also
E =
2r
0
;
also
2r
0
=
2 v
2
K
r
0
d.h.
v
K
= r
r
0 :
() Unabhangig von der Lage der Bahn des Kometen gilt bei r = r
0
die Relation
v
0
=v
K
= p
2. Die Geshwindigkeit der Erde auf ihrer Bahnist
v
K
= 2r
0
1a
=
215010 6
km
10 7
s
=30km/s:
Die maximale Relativgeshwindigkeit wird erreiht, wenn der Komet der Erde
frontal entgegenkommt. (Dann bendet er sih im Perihel seiner Bahn.) Es gilt
daher
v
max
=( p
2+1)v
K
=72km/s:
3. Planetenbewegung (6Punkte)
DerLenzshe Vektor lautet, ausgedrukt durh r(t) und (t):
= 1
_ rL
1
r r
=
0
_
ros r _
sin
_
rsin+r _
os
0
1
A
0
0
0
r 2
_
1
A 0
os
sin
0 1
A
=
0
r
2
_ r _
sin+r 3
_
2
os
r 2
_ r _
os+r 3
_
2
sin 1
A 0
os
sin
0 1
A
diedrei Gleihungen:
L=r 2
_
=
r
2
_ r _
sin+
r
3
_
2
1
os
0=
r
2
_ r _
os+
r
3
_
2
1
sin
Einsetzen der ersten indie beiden anderen Gleihungen liefertmitp= L
2
:
= L
_
rsin+
p
r 1
os
0= L
_
ros+
p
r 1
sin
Multipliziertman dieerste Gleihung mitsin und die zweite mit os und addiert
man beide Zeilen,so erhalt man
os= p
r 1;
also
r= p
1+os :
4. Eulershe Formel (4 Punkte)
(a) Es giltI 2
= E und damit
I 2n
=( 1) n
E sowie I 2n+1
=( 1) n
I:
(b)
exp (I)= 1
X
n=0 1
n!
(I) n
= 1
X
n=0
n
n!
I n
= 1
X
k=0
2k
(2k)!
I 2k
+ 1
X
k=0
2k+1
(2k+1)!
I 2k+1
= 1
X
k=0 ( 1)
k
2k
(2k)!
E+ 1
X
k=0 ( 1)
k
2k+1
(2k+1)!
I
