Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 10 22.12.2000
Losungsvorshlage
1. Anfangswertprobleme (8Punkte)
(a) Losung durhTrennung der Variablen:
dy
dx
= y
2
x 2
!
dy
y 2
= dx
x 2
! Z
dy
y 2
= Z
dx
x 2
!
1
y
= 1
x +C
Anfangsbedingung y(1)= 1
2
fuhrt aufC = 1:
! y =
x
x+1
(b) Setze y=uv:
x((uv) 0
1)=uv ! u(xv
0
v)+xvu 0
=x
Nullsetzen der Klammer(die Integrationskonstante isthier irrelevant):
x dv
dx
=v !
Z
dv
v
= Z
dx
x
! v(x)=x
Einsetzen der Losung fur v(x):
! x
2
u 0
=x !
Z
du= Z
dx
x
! u(x)=lnx+C
! y=xlnx+Cx ! y=xlnx
(uv) 0
uvotx= 1
sinx
! u(v
0
votx)+vu 0
= 1
sinx
v 0
=votx ! Z
dv
v
= Z
dx otx ! lnv =lnsinx ! v(x)=sinx
sinxu 0
= 1
sinx
! Z
du= Z
dx
sin 2
x
! u(x)= otx+C
Einsetzen von u(x)und v(x):
! y=Csinx osx ! y =sinx osx
wegen y(=4) =0.
2. Bewegung imPotential(7 Punkte)
(a)
U(x)= Z
dxF(x)= a
3 x
3
(b)
E(x;x)_ = m
2 _ x 2
a
3 x
3
()
_ x 2
= 2
m
E
0 +
a
3 x
3
! t(x) t
0
= r
m
2 Z
dx
p
E
0 +
a
3 x
3
E
0
=0:
t(x)= r
3m
2a Z
dxx 3=2
+t
0
=2 r
3m
2ax +t
0
! x(t)=
6m
a(t t ) 2
(d) Links: U(x)/x ; rehts: U(x)/x (konstanteKraft).
x U(x )
x U(x )
x (t )
t t
0
x (t )
t
Fur U(x) / x 3
verlauft das Potential bei x = 0 ah (die Kraft vershwindet),
dahererreihtder Massepunkt dieStelle x=0nihtinendliherZeit.Stattdessen
wird x =1 in endliher Zeit erreiht (bei t =t
0
), weil das Potential fur x !1
immer steiler wird.
Dagegen wird im Fall konstanter Kraft (Fallgesetz) der Umkehrpunkt x = 0 er-
reiht, wahrendder Wegbis x=1 unendlihe Zeit benotigt.
(a) Die Bewegungist gebunden, falls a>0.
(b) Zunahst gilt
dx
dt
= pdy
rds
= p
r y
0
:
Dies wird in den Ausdruk furdie Gesamtenergie eingesetzt:
E = m
2 _ x 2
+ax 2
+bx+
! 0=
mp 2
2r 2
y 02
+a(py q) 2
+b(py q)+
= mp
2
2r 2
y 02
+ 2r
2
m ay
2
+ 2r
2
mp
( 2aq+b)y+ 2r
2
mp 2
(aq 2
bq+ E)
Mit der Wahl
r = r
m
2a
; q= b
2a
reduziert sih das auf
0=y 02
+y 2
+ 1
ap 2
b 2
4a
+ E
;
wassih durh
p= 1
2a p
4a(E )+b 2
auf dieForm
y 02
=1 y 2
bringen lat. (Dafur mua>0 und E > b 2
=4a erfulltsein.)
() Trennung der Variablen liefert
Z
dy
p
2
=s s
0
! arsiny=s s
0
! y(s)=sin(s s
0 ):
