Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 10 22.12.2000
Abgabe:Mittwoh, 20.12.bis 10:30
1. Anfangswertprobleme (8Punkte)
BestimmenSie jeweilsdie Losung y(x)der Dierentialgleihung,welhe diegegebene
Anfangsbedingung erfullt:
(a) y 0
=y 2
=x 2
y(1)= 1
2
(2Punkte)
(b) x(y 0
1)=y y(1)=0 (3Punkte)
() y
0
y otx=1=sinx y(=4) =0 (3Punkte)
Woeine Trennung der Variablennihtsofortmoglihist,konnenSiey(x)=u(x)v(x)
mitzweiunbekannten Funktionenuund v ansetzen.BestimmenSiezunahst v(x)so,
da nur die Terme proportional zu u(x) vershwinden. Dies fuhrt auf eine Dierenti-
algleihung fur v(x), von der Sie lediglih eine spezielle Losung benotigen. Wenn Sie
nun diese Losung v(x) einsetzen, erhalten Sie eine Dierentialgleihung fur u(x), die
Sieebenfallslosen konnen.
2. Bewegung imPotential(7 Punkte)
EinMassepunkt (Masse m) bewegt sih in einer Dimensionunter Einuder Kraft
F(x)=ax 2
(a>0):
(a) Geben Siedas zugehorige PotentialU(x) an. (Dabei seiU(0)=0.) (1Punkt)
(b) Wie lautet dieGesamtenergie E alsFunktion vonx und x?_ (1Punkt)
() BestimmenSieaus der BedingungE(x;x )_ E
0
dieFunktiont(x) alsunbestimm-
tesIntegral,d.h.dieUmkehrfunktionderBahnkurve.BerehnenSiediesesIntegral
furden SpezialfallE
0
=0 und losen Siedas Resultat nahx auf. (3Punkte)
(d) Skizzieren Sie die resultierende Bahnkurve x(t) und erklaren Sie qualitativihren
Verlauf: Wo liegen die Untershiede zum dem analogen Problem mit konstanter
2
EinMassepunkt (Masse m) bewegt sih in einer Dimensionim Potential
U(x)=ax 2
+bx+ (a;b;2R; a6=0)
wobeidieGesamtenergie E betragt.
(a) Unter welher Bedingungist dieBewegung x(t) gebunden? (1Punkt)
(b) Fuhren Sieneue Variablen y und s ein, so da
x=py q und t =rs
mitreellenKonstanten p;q;r.Wiemussenp;q;rgewahlt werden,damitdieBahn-
kurve y(s) inden neuen VariablendieDierentialgleihung
y 02
=1 y 2
erfullt? (y 0
=dy=ds) (3Punkte)
() Geben Siedieallgemeine Losung dieser Dierentialgleihungan. (1Punkt)
Siehaben damit gezeigt,dasihdiegebundeneBewegung immerdurhWinkelfunk-
tionenausdruken lat,wenn das Potential einPolynom zweiter Ordnung ist.
