11. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Vorrehnen:Freitag,04.02.2005
Aufgabe 38 Polarkoordinaten: (6Punkte)
Analog zu den in Aufgabe32 besprohenen Zylinderkoordinaten wollen wir
hierdieKugelkoordinaten(oderPolarkoordinaten)einfuhren.Die Beziehung
zwishenCartesishenundPolarkoordinatenistwiefolgtdeniert:(x;y;z)=
(rossin;rsinsin;ros).DiePolareinheitsvektorensindfolgenderma-
endeniert:
^ e
r
= ^e
x
ossin+e^
y
sinsin+^e
z
os; (1)
^ e
= ^e
x
sin+e^
y
os; (2)
^ e
= ^e
x
osos+^e
y
sinos ^e
z
sin: (3)
a) ZeihnenSie die Polareinheitsvektoren^e
und ^e
r
fur =0in derx-z-
Ebene,sowie^e
und^e
r
fur==2inderx-y-Ebene.(2 Punkte)
b) ZeigenSie,dasse^
r e^
r
=e^
^e
=e^
e^
=1,unde^
r
^e
=^e
^e
=e^
e^
r
=
0,wieessihfur orthonormaleEinheitsvektorengehort.(1Punkt)
) BerehnenSie analogzuAufgabe32)die zeitlihenAbleitungen _
^ e
r ,
_
^ e
und _
^ e
in Polarkoordinaten.(3Punkte)
Aufgabe 39 (10Punkte)
BewegungsgleihungeninPolarkoordinaten:
a) FindenSiezunahst _
~
r(wobei~r=e^
r
r)undzeigenSie,dass
~
L=mr 2
(^e
_
^ e
sin
_
).VerwendenSie dazudieErgebnisseausAufgabe38).
(2Punkte)
b) FindenSie
~
rundgebenSiedieBewegungsgleihungenm
~ r=
~
F inPolar-
koordinatenan.(4Punkte)
) BerehnenSie _
~
Lund zeigenSie,dass _
~
L=0
aquivalentzuF
=F
=0
ist.BenutzenSiedenAusdrukfur
~
Lausa),umdieWinkelabhangigkeit
inderradialenBewegungsgleihungausb)zueliminieren(berehnenSie
dazuj
~
Lj 2
).(3 Punkte)
d) Wenn
~
L konstantist, konnen wir unser Koordinatensystem so wahlen,
dass
~
L in die e^
z
-Rihtung zeigt. Dann bewegt sih das Teilhen in der
x-yEbene.Zeigen Sie, dassa)in diesemFallmit demin derVorlesung
inZylinderkoordinatenhergeleitetemErgebnisfur
~
L
ubereinstimmt.
DrehimpulsundDrehmomentintransformiertem Koordinatensystem:
IneinemgegebenenKoordinatensystemseiderDrehimpuls gleih
~
L=~r~p
unddasDrehmomentgleih
~
N =~r
~
F.
a) BerehnenSie Drehmoment
~
N 0
undDrehimpuls
~
L 0
in einemKoordina-
tensystem, welhes um den Vektor
~
d
0
bezuglih des ersten vershoben
ist,d.h.~r 0
=~r
~
d
0
.Leiten Siedarausdie Bewegungsgleihungfur den
Drehimpulsher,d.h.,berehnen Sie _
~
L 0
.(3 Punkte)
b) ImursprunglihenKoordinatensystemgelteDrehimpulserhaltung. Wel-
heBeziehunggiltdannimvershobenenKoordinatensystem?(1Punkt)
Aufgabe 41 Ellipsengleihungen: (10Punkte)
Eine Ellipsekann konstruiert werden, indem man einen Fadender LangeL
andenbeidenOrtenx=h<L=2,y=0einesx-y-Koordinatensytemsbefe-
stigt,unddannmittelseinesStiftesdenFadenspannt.BewegtmandenStift
auf einerKurveso,dassder Fadengespanntbleibt, erhalt man eineEllipse.
DiePunkteandenenderFadenbefestigtist,heienBrennpunktederEllipse.
a) ZeigenSie,dassdieGleihungderEllipsedurh
x 2
a 2
+ y
2
b 2
=1 (4)
gegebenwird. BerehnenSie aundb alsFunktion von hund L.Geben
SieeineInterpretationderGroenaund b.DrukenSie hdurha und
baus.(7Punkte)
b) WirvershiebennundieEllipseso,dassderrehteBrennpunktdenKo-
ordinatenursprung eines neuen Koordinatensystems bildet. Zeigen Sie,
dassdanninPolarkoordinatenrund(mit(x 0
;y 0
)=(ros;rsin)im
neuenKoordinatensystem)diefolgendeGleihungfurdieEllipsegilt:
r()= p
1+os
: (5)
BestimmenSiepundalsFunktionvonaundb.DrukenSieshlielih
