Ubungen zur Physik V: Festk¨¨ orperphysik (WS 2009/2010) A. Ustinov / G. Fischer
Ubungsblatt 11¨
Besprechung am 21. Januar 2010
Aufgabe 1
In einem anisotropen Kristall sei die Energie der Kristallelektronen im Leitungsband gegeben durch
E(~k) =αxx·k2x+αyy ·k2y+αzz ·k2z
a) Diskutieren Sie die Fl¨achen konstanter Energie. Stellen Sie die Bewegungsglei- chungen eines Elektrons unter dem Einfluß eines ¨außeren elektrischen Feldes E~ auf.
b) Der Energieverlauf an der oberen Valenzbandkante sei gegeben durch die isotrope Funktion E(~k) = −6.25·10−15eVcm2· |~k|2. Ein Elektron sei aus einem Zustand mit kx = 107/cm, ky =kz = 0 angeregt, wobei das Band sonst vollbesetzt bleibt.
Geben Sie f¨ur den entstandenen lochartigen Zustand an:
a) das Vorzeichen und den Betrag der effektiven Masse, b) die Richtung und den Betrag des Wellenzahlvektors,
c) die Geschwindigkeit, d) den Kristallimpuls,
e) die Energie, f) die Stromdichte.
Aufgabe 2
Betrachten Sie die Energiefl¨ache
E(~k) = ¯h2·(kx2+k2y 2m∗t + kz2
2m∗l)
bei der m∗t die transversale und m∗l die longitudinale effektive Masse ist. Eine Fl¨ache, auf der E(~k) konstant ist, hat die Form eines Rotationsellipsoids. Benutzen Sie die Bewegungsgleichung
d(¯h~k)
dt =−e·~v(~k)×B~ mit ~v(~k) = 1
¯
h∇~kE(~k)
1
und zeigen Sie, dass die Umlauffrequenz eines Elektrons im Magnetfeldωc =eB/(m∗tm∗l)1/2 ist, wenn das statische Magnetfeld B~ inx-Richtung zeigt (ωc nennt man die Zyklotron- frequenz).
Aufgabe 3
Betrachten Sie die Bewegung von Bloch-Elektronen im Magnetfeld mit der Bewegungs- gleichung aus Aufgabe 2.
a) Berechnen Sie die Bahn ~r⊥, d. h. die Projektion der Bahn im Ortsraum auf die Ebene senkrecht zuB.~
b) Diskutieren Sie am Beispiel von Ag den Umlaufsinn der Bahn f¨ur geschlossene elek- tronenartige (lochartige) Bahnen, d. h. Bahnen die Zust¨ande kleinerer (gr¨oßerer) Energie umschließen.
c) Wie sieht der~k(t)- und~r⊥(t)-Verlauf f¨ur freie Elektronen aus?
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