Ubungen zur Physik V: Festk¨¨ orperphysik (WS 2010/2011) A. Ustinov / G. Fischer
Ubungsblatt 6¨
Besprechung am 2. Dezember 2010
Aufgabe 1
Leiten Sie die Dispersionsrelationω(q) f¨ur die folgenden Anordnungen von Teilchen her und stellen Sie die jeweiligen Dispersionskurven graphisch dar indem Sie jeweils einige q-Werte zwischen 0 und π/a betrachten. Der Abstand zwischen den Teilchen sei d und die Gitterkonstante a. Benutzen Sie den Grenzfall der einatomigen Kette gleicher Federkonstante als Test.
a) Lineare Kette von Teilchen identischer Massen m, die abwechselnd durch zwei verschiedene Arten von Federn mit den Federkonstanten D1 und D2 verbunden sind.
b) Lineare Kette von Teilchen unterschiedlicher MassenmundM benachbarter Teilchen, die durch gleiche Federn (FederkonstanteD) verbunden sind (zweiatomige Kette).
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass sich f¨ur große Wellenl¨angen (λ ≫ a) die Bewegungsgleichung der einatomigen linearen Kette
mu¨n=−D(2un−un−1−un+1)
zur Wellengleichung des elastischen Kontinuums vereinfachen l¨asst:
∂2u/∂t2 =c2Schall·∂2u/∂x2. Hinweis: Benutzen Sie eine Taylorentwicklung umun.
Aufgabe 3
Zeigen Sie anhand von Symmetriegr¨unden, dass die zwei transversalen Moden im fcc- Gitter die gleiche Frequenz haben, also entartet sind, wenn der Wellenvektor~k parallel zur (100)- oder zur (111)-Richtung ist.
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Aufgabe 4
Neutronen der Wellenl¨ange λ0 = 1.80 ˚A werden an einem LiF Kristall gestreut (fcc Gitter, a = 4.02 ˚A) und verlassen den Kristall mit der Wellenl¨ange λ = 1.15 ˚A. Der einfallende Neutronenstrahl ist in der [100]-Richtung und wird in der (001) Ebene um 30◦ gestreut.
a) Warum k¨onnen Sie f¨ur diese Streuproblem nicht die Ewaldkonstruktion verwenden?
b) Werden Phononen erzeugt oder vernichtet?
c) Berechnen Sie die Frequenz der Phononen (EnergieE = ¯hω) unter der Annnahme, dass pro gestreutem Neutron nur ein Phonon teilnimmt (Ein-Phonon-Streuung).
d) Berechnen Sie den Streuvektor und skizzieren Sie den Streuvorgang im reziporken Raum. (Hinweis: Sie k¨onnen das ganze nur in der (001)-Ebene betrachten.) e) Geben Sie den Phononwellenvektor in SI-Einheiten an, der an diesem Streuvorgang
teilnimmt.
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