Lineare Algebra II 8. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2011
Prof. Dr. Kollross 01./09. Juni 2011
Susanne Kürsten Tristan Alex
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Minitest)
SeiV ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Sei weiterhinπ:V →V die orthogonale Projektion auf den endlichdi- mensionalen UnterraumU(V. Welche der folgenden Aussagen gelten für alleu∈Uundv,v1,v2∈V?
πist injektiv.
πist ein Isomorphismus.
Wennv1senkrecht aufv2steht, dann stehen auchπ(v1)undπ(v2)senkrecht aufeinander.
kπ(v)k=kvk.
π2(v) =v.
Es existiert einn∈N, so dassπn=idgilt.
πist nilpotent.
πist invertierbar.
πkann negative Eigenwerte haben.
π(v)steht senkrecht aufv.
π(u)steht senkrecht aufu.
π(v)steht senkrecht aufu.
π(u)steht senkrecht aufv.
kerπ∪imπ=V.
kerπ∩imπ=;.
dim kerπ≤dimimπ.
dim kerπ≥dimimπ.
dim kerπ=dimimπ.
Aufgabe G2 (Isometrien)
Eine Abbildungϕ:V →Wzwischen euklidischen oder unitären Vektorräumen heißtIsometrie, falls für allex,y∈V die Gleichung
ϕ(x),ϕ(y)
= x,y erfüllt ist.
Zeigen Sie, dass für eine lineare Abbildungϕ:V →Wäquivalent sind:
(a) ϕist eine Isometrie.
(b) kϕ(x)k=kxkfür allex∈V.
1
(c) kϕ(x)−ϕ(y)k=kx−ykfür alle x,y∈V. Tipp:Polarisierungsgleichung.
Aufgabe G3 (Diagonalisierung von orthogonalen Projektionen)
SeiV ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und seiπ:V →V die orthogonale Projektion auf U⊆V.
(a) Zeigen Sie, dassπnur die Eigenwerte0und1hat.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie:
• Es gibt orthogonale Projektionen, die nur1als Eigenwert haben.
• Es gibt orthogonale Projektionen, die nur0als Eigenwert haben.
(c) Zeigen Sie, dass es eine BasisBvonV gibt, bezüglich derπdie Matrixdarstellung [π]B=
Ek 0
0 0
hat. Dabei seik=dimimπundEkdiek×k-Einheitsmatrix.
(d) Zeigen Sie, dass jede orthogonale Projektion diagonalisierbar ist.
Aufgabe G4 (Skalarprodukte)
(a) Seiena1, . . . ,an∈Rpositive Zahlen. Zeigen Sie, dass
n
X
i=1
a2i
!
n
X
j=1
a−2j
≥n2
gilt.
(b) SeiV ein Vektorraum,B= (b1, . . . ,bn)eine Basis vonV und f:V×V →Reine Bilinearform. Weiter sei
A:=
a11 · · · a1n ... ... an1 · · · ann
:=
f(b1,b1) · · · f(b1,bn)
... ...
f(bn,b1) · · · f(bn,bn)
.
Zeigen Sie, dassAdie Strukturmatrix der Bilinearform f ist, das heißt, für beliebige Vektoren x,y∈V bezüglich der BasisBgilt
f(x,y) =xTAy.
Bestimmen Sie die Strukturmatrix des Standardskalarproduktes bezüglich der Standardbasis.
(c) SeiKder Körper der reellen oder der komplexen Zahlen. SeiV ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum überK. Zeigen Sie, dass zu jeder linearen Abbildung f:V →Kein Vektora∈V existiert mitf(x) =
〈x,a〉für alle x∈V.
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Hausübung
Aufgabe H1 (Orthogonale Zerlegung)
Betrachte den euklidischen VektorraumMn(R)allern×n-Matrizen mit Spur-Skalarprodukt〈A,B〉:=tr(BTA). Bezeichne mit
U+:={A∈Mn(R)|AT=A} ⊂Mn(R) und U−:={B∈Mn(R)|BT=−B}
die Teilmengen der symmetrischen beziehungsweise schiefsymmetrischen Matrizen.
(a) Zeigen Sie, dassU+undU−lineare Teilräume sind und(U+)⊥=U−erfüllen.
(b) Welche Dimension haben die RäumeU+undU−?
(c) Zeigen Sie, dass sich jede MatrixA∈Mn(R)eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetri- schen Matrix schreiben lässt.
(d) Bestimmen Sie die orthogonalen Projektionenπ+aufU+undπ−aufU−. Tipp:Induktiv lässt sich leichtPn
k=1k=12n(n+1)zeigen.
Aufgabe H2 (Numerische Approximation)
SeiV :=C([0, 1])der Raum der stetigen Funktionen f:[0, 1]→RundU :=span{1,x}der Unterraum der Polynome vom Grad höchstens1. Wir stattenV mit dem Skalarprodukt
f(x),g(x):=
Z1
0
f(x)g(x)dx
aus. In dieser Aufgabe finden wir eine gute Näherung für die Funktionx7→ex. (a) Welche Dimension haben die RäumeUundV?
(b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis vonU.
(c) Benutzen Sie die Approximationseigenschaft der Orthogonalprojektion, um die optimale Näherungg(x)fürexzu berechnen.
(d) Skizzieren oder plotten Sie die Funktionenexundg(x)in einem Koordinatensystem.
Beachten Sie, dass wir für die Bestimmung vong(x)keine Differentialrechnung verwendet haben.
Tipp:Es istR1
0 x exdx=1.
Aufgabe H3 (Spiegelung an einer Hyperebene)
SeiV ein endlich-dimensionaler, euklidischer Vektorraum undv∈V ein Einheitsvektor. Betrachten Sie die lineare Abbil- dung
σv:V →V, x7→x−2〈x,v〉v.
Zeigen Sie:
(a) Die Abbildungσv ist eine bijektive Isometrie.
(b) Der vonv aufgespannte TeilraumRv ist der Eigenraum vonσv zum Eigenwert−1und sein Orthogonalraum der Eigenraum zum Eigenwert1.
Seien nunv,w∈V zwei Einheitsvektoren. BezeichneUden vonvundwaufgespannten linearen Teilraum. Betrachten Sie die linearen Abbildungenσv undσw. Zeigen Sie:
(c) Der TeilraumU istσv-invariant undσw-invariant, d.h. es giltσv(U)⊆Uundσw(U)⊆U. (d) Für allex∈U⊥giltσv(x) =x=σw(x).
(e) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
i. Die Vektorenv undwsind linear abhängig oder orthogonal zueinander.
ii. Die Abbildungenσv undσwkommutieren, d.h.σv◦σw=σw◦σv.
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