Lineare Algebra II 7. Übungsblatt

Lineare Algebra II 7. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2011

Prof. Dr. Kollross 25./26. Mai 2011

Susanne Kürsten Tristan Alex

Minitest

Aufgabe M1 (Skalarprodukt)

Es seienV ein euklidischer Vektorraum undx,y,z∈V. Welche der folgenden Behauptungen sind wahr?

ƒ x,y

=0⇒x=y

ƒ 〈x,x〉=0⇔x=0

ƒ x,y

≥0

ƒ 〈x,x〉 ≥0

ƒ

x,y= y,x

ƒ x,y

= y,x

ƒ x,y= x,y

ƒ x+z,y=

x,y+ z,y

ƒ λx,y

=λ x,y

∀λ∈C

ƒ λx,y

=λ x,y

∀λ∈R

ƒ λx,y

=λ x,y

∀λ∈R

ƒ λx,y

=λ x,y

∀λ∈C

Lösung: Die erste, dritte, neunte und zwölfte Behauptung sind falsch, alle anderen sind richtig.

Aufgabe M2 (Norm)

Es seienV ein euklidischer Vektorraum,x,y∈V undλ∈R. Welche der folgenden Behauptungen sind wahr?

ƒ kxk>0

ƒ k0k=0

ƒ k1k=1

ƒ kxk>0∀x6=0

ƒ kλxk=λkxk

ƒ kλxk ≥λkxk

ƒ kλxk=|λ|kxk

ƒ kx+yk=kxk+kyk

ƒ kx+yk ≤ kxk+kyk

Lösung: Die erste, dritte, fünfte und achte Behauptung sind falsch, alle anderen sind richtig.

Aufgabe M3 (Abstand)

Es seienV ein euklidischer Vektorraum,x,y,z∈V undλ∈R. Der Abstand zwischenxund yist definiert durch d(x,y):=kx−yk.

Welche der folgenden Behauptungen sind wahr?

ƒ d(x,x)>0

ƒ d(x,x) =0

ƒ d(x,y)>0∀x6=y

ƒ d(λx,y) =λd(x,y)

ƒ d(x,y) =d(y,x)

ƒ d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z)

ƒ d(x,z) =d(x,y) +d(y,z)

Lösung: Die erste, vierte und siebente Behauptung sind falsch, alle anderen sind richtig.

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Rang komplexer Matrizen)

Es seiA∈ M_m,n(R)eine reelle Matrix und B∈ M_m,n(C)die Matrix mit denselben Einträgen wieA, aber aufgefasst als komplexe Matrix.

(a) Zeigen Sie, dass

rankA=rankB gilt.

Hinweis: Verwenden Sie dazu den Gauß-Algorithmus.

(b) Sei nunm=nundλein reeller Eigenwert vonB.

Zeigen Sie, dassλauch ein Eigenwert vonAist und dass die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von λbei beiden Matrizen übereinstimmen.

(c) Gilt die Aussage aus dem letzten Aufgabenteil auch noch, wenn man die Rollen vonAundBvertauscht? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Lösung:

(a) Man erkennt leicht dass sich die Anwendung des Gauß-Algorithmus auf die MatrizenAundBnicht unterscheidet.

In beiden Fällen subtrahiert man reelle Vielfache einer Zeile von einer anderen Zeile um Nullen zu erzeugen. Es sind also auch bei der komplexen Matrix dieselben Operationen.

Da der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, die am Ende des Gauß-Algorithmus nicht Null sind, gilt rankA=rankB.

(b) Da die Berechnung der Determinante unabhängig davon ist, ob man die Matrix als reelle oder komplexe Matrix betrachtet, stimmen die charakteristischen Polynome vonAund Büberein. D.h.λist als reelle Nullstelle von P_B auch Nullstelle vonP_A, also ein Eigenwert vonA.

Seiend_λ^Aundd_λ^Bdie geometrischen Vielfachheiten vonλals Eigenwert vonAbzw.B. Dann gilt wegen dem letzten Aufgabenteil

d_λ^A=dim(ker(A−λE)) =n−rank(A−λE) =n−rank(B−λE) =dim(ker(B−λE)) =d_λ^B.

w.z.b.w.

(c) Die Aussage gilt auch noch, wenn man die Rollen vonAundB vertauscht. Denn da das charakteristische Polynom vonAundBgleich ist, ist jeder Eigenwert vonAauch ein reeller Eigenwert vonB und man kann die Aussage des letzten Aufgabenteils anwenden.

Aufgabe G2 (Skalarprodukt) Zeigen Sie, dass

V :={f :[0, 2π]→C|f stetig} mit

f,g:=

Z2π 0

f(t)g(t)d t einen unitären Vektorraum bildet.

Bestimmen Sie das Skalarprodukt von

f(t) =costundg(t) =sin(t). Wie groß ist der Winkelγzwischenf undg?

Lösung: Aus der Vorlesung zur linearen Algebra 1 ist bekannt, dass alle Funktionen auf der Menge [0, 2π] einen Vektorraum bilden. Da die Summe zweier stetiger Funktionen stetig ist, und auch das Produkt aus einer komplexen Zahl und einer stetigen Funktion stetig ist, bildetV einen Untervektorraum dieses Vektorraums.

〈·,·〉ist ein Skalarprodukt, denn für allef,g,h∈V undλ∈Cgilt:

•

f +h,g= Z2π

0

(f+h)(t)g(t)d t= Z2π

0

(f(t)+h(t))g(t)d t= Z2π

0

f(t)g(t)d t+ Z2π

0

h(t)g(t)d t=f,g+ h,g

λf,g= Z2π

0

(λf)(t)g(t)d t= Z2π

0

λ·f(t)g(t)d t=λ· Z2π

0

f(t)g(t)d t=λ f,g

•

f,g

= Z2π

0

f(t)g(t)d t= Z2π

0

f(t)g(t)d t= Z2π

0

g(t)f(t)d t= g,f

• f,f=R2π

0 f(t)f(t)d t=R2π

0 |f(t)|²d t≥0, wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn f(t) =0∀t∈[0, 2π]

ist. Es folgt also

f,f

≥0und f,f

⇔f =0 . Durch partielle Integration ergibt sich

〈cos, sin〉 = Z2π

0

cos(t)sin(t)d t= Z2π

0

cos(t)sin(t)d t= [sin²(t)]²₀^π− Z2π

0

cos(t)sin(t)d t

= [sin²(t)]^2π₀ − 〈cos, sin〉

⇒ 〈cos, sin〉 = 1

2[sin²t]^2π₀ =0 . Damit gilt für den gesuchten Winkelγ

cosγ= Re〈sin, cos〉 ksink · kcosk=0 . D.h. der Winkel istγ=^π₂.

Aufgabe G3 (Skalarprodukt) Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) AufR²ist durch

(x₁,x₂),(y₁,y₂)

=x₁y₁−x₂y₂ ein Skalarprodukt definiert.

(b) Auf

V={(x₁,x₂, . . .)|x_i∈R,x_i6=0nur für endlich viele i} wird durch

(x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .)

= X∞

i=1

x_iy_i

ein Skalarprodukt definiert.

(c) AufRist durch

x,y

=|x| ein Skalarprodukt definiert.

(d) AufR[t]wird durch

a₀+a₁t+. . .+a_ntⁿ,b₀+b₁t+. . .+b_mt^m

=

min{n,m}

X

i=1

a_ib_i ein Skalarprodukt definiert.

(e) AufR²ist durch

(x₁,x₂),(y₁,y₂)=x₁²y₁²+x₂²y₂² ein Skalarprodukt definiert.

(f) AufM_n(R)wird durch

〈A,B〉=tr(B^tA) ein Skalarprodukt definiert.

Lösung:

(a) Die Aussage ist falsch, denn〈·,·〉ist nicht positiv definit. Z.B. gilt

〈(1, 1),(1, 1)〉=1−1=0aber(1, 1)6= (0, 0) =0 .

(b) Die Aussage ist richtig, denn für alle(x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .),(z₁,z₂, . . .)∈V undλ∈Rgilt (x₁,x₂, . . .) + (z₁,z₂, . . .),(y₁,y₂, . . .) =

X∞ i=1

(xi+z_i)y_i= X∞ i=1

x_iy_i+ X∞ i=1

z_iy_i

= (x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .)+(z₁,z₂, . . .),(y₁,y₂, . . .) λ(x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .)

=

(λx₁,λx₂, . . .),(y₁,y₂, . . .)

= X∞

i=1

λx_iy_i=λ X∞ i=1

x_iy_i

= λ

(x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .) (x₁,x₂, . . .),(y₁,y₂, . . .)

= X∞ i=1

x_iy_i= X∞

i=1

y_ix_i=

(y₁,y₂, . . .),(x₁,x₂, . . .)

(x₁,x₂, . . .),(x₁,x₂, . . .) = X∞ i=1

x_ix_i= X∞

i=1

x²_i ≥0

(x₁,x₂, . . .),(x₁,x₂, . . .)

=0 ⇔ X∞ i=1

x_i²=0⇔(x₁,x₂, . . .) = (0, 0, . . .) =0 (c) Die Aussage ist falsch, denn〈·,·〉ist nicht symmetrisch. Z.B. gilt

〈1, 0〉=16=0=〈0, 1〉.

(d) Die Aussage ist wahr, denn sie ist äquivalent zu der in Aufgabenteil (b). Dies ist der Fall, da durch V→R[t], (x₁,x₂, . . .)7→x₁+x₂t+x₃t²+...

ein Isomorphismus von Vektorräumen gegeben ist (Beachte, dass das Bild immer ein endl. Polynom ist, weil nur endlich viele derx_iungleich Null sind).

Alternativ kann man auch dieselben Nachweise wie in Aufgabenteil (b) durchführen.

(e) Die Aussage ist falsch, denn〈·,·〉ist nicht bilinear. Z.B. gilt

〈2·(1, 1),(1, 1)〉=〈(2, 2),(1, 1)〉=4+4=86=4=2·(1+1) =2〈(1, 1),(1, 1)〉. (f) Die Aussage ist wahr, denn für alleA,B,C∈M_n(R)undλ∈Rfolgt mit Hilfe der Eigenschaften der Spur

〈A+C,B〉 = tr(B^T(A+C)) =tr(B^TA+B^TC) =tr(B^TA) +tr(B^TC) =〈A,B〉+〈C,B〉

〈λ·A,B〉 = tr(B^T(λ·A)) =tr(λ·B^TA) =λ·tr(B^TA) =λ· 〈A,B〉

〈A,B〉 = tr(B^TA) =tr((B^TA)^T) =tr(A^T(B^T)^T) =tr(A^TB) =〈B,A〉

〈A,A〉 = tr(A^TA) =a₁^Ta₁+a₂^Ta₂+. . .+a^T_na_n=ka₁k²+ka₂k²+. . .+ka_nk²≥0

〈A,A〉=0 ⇔ ka₁k²+ka₂k²+. . .+ka_nk²=0⇔a_i=0∀1≤i≤n⇔A=0 . Dabei bezeichneta_idiei-te Spalte vonAundk · kdie Standardnorm imRⁿ.

Aufgabe G4 (Lineare Abbildungen)

Finden Sie eine lineare Abbildungϕ:Cⁿ→Cⁿmitϕⁿ=id_Cnundϕ^k6=id_Cn∀1≤k<n, für die es eine BasisBgibt, sodass[ϕ]^B_Bnur Nullen und Einsen als Einträge hat. Geben Sie eine solche BasisBund die zugehörige Matrix[ϕ]^B_Ban.

Lösung: Man wählt als BasisB=E={e₁, . . .e_n}die Standardbasis und als Abbildungϕ=ϕAmit der Matrix

A=

















0 0 0 · · · 0 1 1 0 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0

... ... ... ...

0 0 0 · · · 1 0















 .

Das ist gerade diejenige lineare Abbildung, für die

ϕ(e₁) =e₂,ϕ(e₂) =e₃, . . . ,ϕ(e_n−1) =e_n,ϕ(e_n) =e₁ gilt. D.h. insbesondere ist für1≤k<n

ϕ^k(e₁) =e_1+k6=e₁⇒ϕ^k6=id . Außerdem gilt

ϕⁿ(e_i) =e_(i+n)modn=e_i⇒ϕⁿ=ϕ. D.h.ϕhat alle geforderten Eigenschaften und es giltB=Eund[ϕ]^B_B=A.

Man kann anstelle vonEauch eine beliebige andere Basis verwenden undϕanalog durch eine zyklische Vertauschung der Basisvektoren definieren

Hausübung

Aufgabe H1 (Einsetzabbildung)

Es seiA∈M_n(K)eine Matrix. Dann nennt man die Abbildung

ϕ:K[t]→M_n(K), p7→p(A) Einsetzabbildung.

Zeigen Sie, dassϕein Homomorphismus vonK-Algebren ist.

Erinnerung:ϕist genau dann ein Homomorphismus vonK-Algebren, wennϕein Vektorraumhomomorphismus ist, für den zusätzlich

ϕ(p·q) =ϕ(p)·ϕ(q)∀p,q∈K[t] gilt.

Lösung: Sei nunp=a₀+a₁t+. . .+a_ntⁿ,q=b₀+b₁t+. . .+b_mt^m∈K[t]undλ,µ∈Kbeliebig. Außerdem setze ich a_i=0∀i>nundb_j=0∀j>m. Dann gilt

ϕ(λp+µq) = λ(a₀+a₁t+. . .+a_ntⁿ) +µ(b₀+b₁t+. . .+b_mt^m) (A)

= €

λa₀+µb₀+ (λa₁+µb₁)t+. . .+ (λa_max{n,m}+µb_max{n,m})t^max{n,m}Š (A)

= λa₀+µb₀

E+ λa₁+µb₁

A+. . .+€

λa_max{n,m}+µb_max{n,m}Š

A^max{n,m}

= λ a₀E+a₁A+. . .+a_nAⁿ

+µ b₀E+b₁A+. . .+b_mA^m

=λp(A) +µq(A)

= λϕ(p) +µϕ(q)

ϕ(p·q) = (a₀+a₁t+. . .+a_ntⁿ)(b₀+b₁t+. . .+b_mt^m) (A)

= a₀b₀+ X1

0

a_ib_1−it+ X2

0

a_ib_2−it²+. . .+

n+m

X

0

a_ib_n+m−it^n+m

! (A)

= a₀b₀E+ X1

0

a_ib_1−iA+ X2

0

a_ib_2−iA²+. . .+

n+m

X

0

a_ib_n+m−iA^n+m

= a₀E+a₁A+. . .+a_nAⁿ

· b₀E+b₁A+. . .+b_mA^m

=p(A)·q(A)

= ϕ(p)·ϕ(q).

w.z.b.w.

Aufgabe H2 (Orthogonalität)

(a) Es seiAeine reellem×n-Matrix.

Zeigen Sie, dass jedes Element x ∈kerAsenkrecht auf allen Zeilenvektoren der MatrixAsteht (wir verwenden dabei das Standardskalarprodukt) und dass es keine weiteren Vektoren gibt, für die diese Aussage gilt.

(b) Gilt die Aussage des letzten Aufgabenteils noch, wenn man eine beliebige komplexe MatrixAbetrachtet? Zeigen Sie ihre Behauptung.

Lösung:

(a) Es bezeichnea_ideni-ten Zeilenvektor. Dann gilt für allex∈Rⁿ: Diei-te Spalte vonAxist Null⇔a_i^Tx=0⇔

a_i,x

=0⇔xsteht senkrecht aufa_i. Daraus folgt sofort, dass

x∈kerA⇔Ax=0⇔xsteht senkrecht auf allen Zeilenvektoren vonA gilt.

w.z.b.w.

(b) Für eine kompexe Matrix muss man dann auch das komplexe Standardskalarprodukt nehmen und die Aussage gilt im Allgemeinen nicht mehr.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist

A=

1 i

0 0

undx= i

−1

∈kerA, denn dann gilt

1 i

,

i

−1

=€

1 i Š

i

−1

=€

1 i Š

−i

−1

=−2i6=0 .

Aufgabe H3 (ähnliche Matrizen) Es seiA∈M₃(C)eine Nilpotente Matrix.

(a) Es seiA³=0undA²6=0. Zeigen Sie, dass dannAähnlich zu der Matrix







0 1 0

0 0 1

0 0 0





 ist.

Gehen Sie dazu wie folgt vor.

• Zeigen Sie, es gibt einen Vektorv∈C³, sodassv,Av undA²v ungleich Null sind.

• Zeigen Sie, dass für diesesv die Vektorenv,Av,A²vlinear unabhängig sind und eine Basis vonC³bilden.

• Stellen Sie die AbbildungϕAin einer BasisBedar, welche ausBdurch vertauschen der Vektoren entsteht.

(b) Es seiA²=0undA6=0. Zeigen Sie, dass dannAähnlich zu der Matrix







0 1 0

0 0 0

0 0 0





 ist.

Hinweis: Zeigen Sie die Existenz einer geeignete BasisBvonC³bezüglich der die MatrixAdie angegebene Gestalt hat. Diese Basis sollte die FormB={Av,v,w}mitAv,w∈kerAhaben.

(c) Es seienBundCbeliebige Matrizen ausM₃(C). Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Ausssagen (i) B≈C

(ii) B−λ₁E≈C−λ₁Efür einλ₁∈C (iii) B−λE≈C−λEfür alleλ∈C

(d) Zeigen Sie, dass alle Matrizen ausM_n(C)mitn≤3durch ihr charakteristisches Polynom und ihr Minimalpolynom bis auf Ähnlichkeit eindeutig festgelegt sind.

Lösung:

(a) • DaA²6=0gilt, existiert einv∈C³mitA²v 6=0. Daraus folgt, dass auchvundAv nicht Null sind.

• Es seienλ1,λ2,λ3∈Cmit

λ1·^v+λ2·Av+λ3·A²v =0 . (1) Wendet man auf (1)Aeinmal bzw. zweimal an und beachtet, dassA³=A⁴=0gilt, so erhält man

λ1·Av+λ2·A²v = 0 und (2)

λ1·A²v = 0 . (3)

Aus der Gleichung (3) folgt wegenA²v 6=0, dassλ₁=0gilt. Daraus und aus der Gleichung (2) folgt, dass λ2=0gilt. Daraus und aus der Gleichung (1) folgt, dassλ3=0gilt. Es ist also

λ₁=λ₂=λ₃=0 .

D.h. die Vektorenv,Av,A²v sind linear unabhängig und bilden wegendimC³=3eine Basis desC³.

• Betrachtet man nun die BasisBe={A²v,Av,v}, so gilt

[ϕA]^eB

eB=







0 1 0

0 0 1

0 0 0





.

D.h.Aist ähnlich zu dieser Matrix.

(b) DaAnilpotent ist, hatAeinen nichttrivialen Kern. D.h. es giltdim(kerA)≥1.

Angenommen es wäredim(kerA) =1. Dann istdim(imA) =3−1=2. D.h. es gibt ein Elementu∈C³, dass im Bild vonAliegt, aber nicht im Kern vonA. D.h. es gibt einu∈C³mitAu=uundA²u=Au6=0. Dies ist ein Widerspruch zuA²=0.

WegenA6=0istdim(kerA)6=3, es gilt also

dim(kerA) =2 .

WegenA6=0gibt es einen Vektorv∈C³mitAv6=0. DaA²=0ist, gilt dannAv∈kerA. Wegendim(kerA) =2gibt es einen Vektorw∈C³, so dass{Av,w}eine Basis vonkerAbildet.

Seien nunλ1,λ2,λ3∈Cmit

λ1Av+λ2v+λ3w=0 . (4)

Multipliziert man (4) mitAund beachtet, dassAv,w∈kerAgilt, so ergibt sich

λ2Av=0 . (5)

Daraus folgt wegenAv6=0, dassλ2=0gilt. Daraus folgt wegen (4) und der Tatsache, dass{Av,w}eine Basis von kerAbilden, dass auchλ1=λ3=0gilt.

D.h.B:={Av,v,w}ist eine Basis desC³. WegenA(Av) =Aw=0folgt

[ϕA]^B_B=







0 1 0

0 0 0

0 0 0





.

D.h.Aist ähnlich zu dieser Matrix.

(c) • Aus (i) folgt (ii) sofort (mitλ1=0).

• Angenommen es gilt (ii), d.h. es gibt einλ1∈CmitB−λ1E≈C−λ1E. Dann gibt es eine invertierbare Matrix S∈M_n(C)mit

S⁻¹(B−λ1E)S=C−λ1E. Daraus folgt für alleλ∈C

S⁻¹(B−λE)S = S⁻¹BS−λE+λ1E−λ1E=S⁻¹(B−λ1E)S−λE+λ1E=C−λ1E−λE+λ1E

= C−λE. D.h.B−λE≈C−λE, also gilt (iii).

• Aus (iii) folgt (i) sofort, indem manλ=0setzt.

(d) Da der Grad des charakteristischen Polynoms gleich n ist, kann man die Aussage für verschiedene n getrennt beweisen.

Fürn=1ist die Aussage klar.

Fürn=2wurde die Aussage bereits in Aufgabe G3 vom Übungsblatt 6 gezeigt.

Es beibt also nur noch der Falln=3zu betrachten. Diesen unterteile ich in die2Fälle, dassAnur einen Eigen- wert hat und dasAmehr als einen Eigenwert hat. Da Matrizen mit demselben Minimalpolynom auch dieselben Eigenwerte haben, reicht es die Aussage für die beiden Fälle einzeln zu zeigen.

• 1. Fall:Ahat nur einen Eigenwertλ.

Da jede Matrix Triagonalisierbar ist, gibt es eine obere DreiecksmatrixB, die zuAähnlich ist. DaBdann auch nur den Eigenwertλ hat, ist B−λE eine obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen. D.h.

B−λE ist Nilpotent. Wegen der Aufgabe G2 vom Übungsblatt 6 gilt dann(B−λE)³ = 0, d.h. B−λE ist entweder Null oder eine Matrix wie in Aufgabenteil (a) oder (b).

Insbesondere istB−λEähnlich zu







0 0 0

0 0 0

0 0 0





 oder







0 1 0

0 0 1

0 0 0





 oder







0 1 0

0 0 0

0 0 0





.

Wegen Aufgabenteil (c) ist alsoBund damit auchAähnlich zu







λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ





 oder







λ 1 0

0 λ 1

0 0 λ





 oder







λ 1 0

0 λ 0

0 0 λ





.

Mithilfe von Aufgabe H1 vom Übungsblatt 6 folgt sofort, dass die zugehörigen Minimalpolynome (λ−t),(λ−t)³bzw.(λ−t)²

sind. Da diese also für alle möglichen Ähnlichkeitsklassen verschieden sind, folgt die Aussage im ersten Fall.

• 2. Fall:Ahat mindestens zwei verschiedene Eigenwerte.

Dann gibt es eine Eigenwertλmit algebraischer Vielfachheit eins. D.h.Aist ähnlich zu einer Matrix der Gestalt B=

λ 0

0 C

mit einer komplexen2×2-MatrixC, deren Eigenwerte ungleichλsind. Mit Hilfe der Aufgabe H1 vom Übungsblatt 6 folgt daraus, dass

M_B(t) = (λ−t)M_C(t)undP_B(t) = (λ−t)P_C(t) gilt.

Hätten zwei nicht ähnliche MatrizenBundBe=

‚ µ 0 0 Ce

Œ

dasselbe Minimalpolynom und dasselbe charak- teristische Polynom, so würdeµ=λgelten und die nicht ähnlichen2×2-MatrizenCundCehätten dasselbe Minimalpolynom und dasselbe charakteristische Polynom. Dies ist nicht möglich, da die zu zeigende Aussage für2×2-Matrizen gilt.

D.h. in diesem Fall sind die Ähnlichkeitsklassen durch das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom eindeutig festgelegt.

w.z.b.w.