Volumen eines Parallelepipeds
Der Betrag der Determinante einer reellen Matrix A = (a
1, . . . , a
n) stimmt mit dem n-dimensionalen Volumen des von den Spalten a
kvon A
aufgespannten Parallelepipeds ¨ uberein:
| det A| = vol (
nX
k=1
s
ka
k: 0 ≤ s
k≤ 1 )
= vol (A[0, 1]
n) .
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Beweis
Das orientierte Volumen
vol
∗A = sign(det A) vol(A[0, 1]
n)
besitzt alle drei definierenden Eigenschaften der Determinante (Multilinearit¨ at, Antisymmetrie, Normierung).
= ⇒
vol
∗A = det A
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Beispiel
Alternative Berechnung der Determinante einer 3 × 3-Matrix A = (u, v, w ) mit den Spalten
u
t= (2, 1, 1), v
t= (1, 2, 1), w
t= (1, 1, 2) (i) Spatprodukt:
det(u , v, w ) = [u, v, w ] = u
t(b × c ) (2, 1, 1)
1 2 1
×
1 1 2
= (2, 1, 1)
3
−1
−1
= 6 − 1 − 1 = 4 (ii) ε-Tensor:
det(u , v, w ) = P
j
P
k
P
`
ε
j,k,`u
jv
kw
`det(u, v, w ) = ε
1,2,3· 2 · 2 · 2 + ε
1,3,2· 2 · 1 · 1 + ε
2,1,3· 1 · 1 · 2 +ε
2,3,1· 1 · 1 · 1 + ε
3,1,2· 1 · 1 · 1 + ε
3,2,1· 1 · 2 · 1
= 8 − 2 − 2 + 1 + 1 − 2 = 4
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