Lineare Algebra I 7. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/2011
Prof. Dr. Kollross 30. November 2010
Dr. Le Roux
Dipl.-Math. Susanne Kürsten
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Affine Unterräume) Es seiV einK−Vektorraum. Zeigen Sie:
(a) Ein Affiner UnterraumAvonV enthält die Null genau dann, wennAbereits ein Untervektorraum vonV ist.
(b) Für einen UntervektorraumU vonV und Elementea,b∈V gilt
a+U=b+U⇔a−b∈U⇔b−a∈U.
(c) Für einen UntervektorraumU vonV und Elementea,b∈V gilt
b∈a+U⇔a+U=b+U.
Aufgabe G2 (Linearkombinationen)
Seiena= (2,−1, 0, 4)undb= (−1, 3, 2,−1). Entscheiden Sie welche der folgenden Vektoren Linearkombination von aundbsind.
(a) c= (3, 1, 2, 5) (b) d= (0, 5, 4, 2)
Aufgabe G3 (Direkte Summe)
SeienV ein Vektorraum undA,B,Cdrei Untervektorräume vonV. Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen Äquiva- lent sind.
(i) A+B+C=A⊕B⊕C
(ii) A+B=A⊕Bund(A+B)∩C={0}
Aufgabe G4 (Kern einer linearen Abbildung)
SeienVundWzweiK-Vektorräumw undf :V →Wlinear. Der Kern vonf ist definiert alsKer(f) ={x∈V | f(x) =0}.
(a) Zeigen Sie, dassKer(f)ein Untervektorraum vonV ist.
(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) Ker(f) ={0}. (ii) f ist injektiv.
Aufgabe G5 (Polynome)
SeiD:R[x]→R[x], wobeiR[x]die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten undD(Pn
k=0akXk) =Pn
k=1kakXk−1 ist.
(a) IstR[x]einR-Vektorraum?
(b) Was istD(Xn)?
(c) IstDeine lineare Abbildung?
(d) Was ist der Kern vonD?
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Hausübung
Aufgabe H1 (Affine Unterräume)
Seien V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektoräume von V. Seien a,b ∈ V. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
(i) a+U=b+W (ii) U=Wund b−a∈U
Aufgabe H2 (Vereinigung von Untervektorräumen)
Es seienV ein Vektorraum undU1undU2Untervektorräume vonV. Welche Bedingung ist äquivalent zu der Aussage:
U1∪U2ist ein Untervektorraum vonV? Zeigen Sie diese Äquivalenz.
Aufgabe H3 (Affine Unterräume)
Es seiV einR−Vektorraum undAeine Teilmenge vonV. (a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden zwei Aussagen.
(i) Aist ein affiner Unterraum vonV.
(ii) Aist nicht leer und für allea,b∈A,λ∈Rgilt
λa+ (1−λ)b∈A.
(b) Was bedeutet die Bedingung (ii) geometrisch?
(c) Gilt die in (a) behauptete Äquivalenz immer noch, wenn man statt R den GrundkörperZ/2Zund statt V den Z/2Z−VektorraumZ/2ZxZ/2Z= (Z/2Z)2betrachtet? Beweisen Sie ihre Beheauptung.
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es in(Z/2Z)2keinen Untervektorraum mit drei Elementen gibt.
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