Lineare Algebra I 6. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/2011
Prof. Dr. Kollross 24. November 2010
Dr. Le Roux
Dipl.-Math. Susanne Kürsten
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Ein einfaches Körper)
(a) Definieren Sie die Verknüpfung+, damit({0, 1},+, 0)eine Gruppe ist.
(b) Definieren Sie die Verknüpfung·, damit({0, 1},+,·, 0, 1)ein Körper ist.
(c) Ist({0, 1},+,·)ein{0, 1}-Vektorraum?
(d) Was sind die Lösungen in({0, 1},+,·)des folgenden Gleichungssystems?
x +y =0
x +z =0
y +z =0
Aufgabe G2 (Vektorräume)
Nehmen Sie an, dass(R,+,·)und(Q,+,·)Körper sind. Begründen Sie Ihre Antworte zu den folgenden Fragen.
(a) Ist(R,+,·)einR-Vektorraum ?
(b) Ist(M2×3(Q),+,·)einQ-Vektorraum? WobeiM2×3(Q)die2×3Matrizen mit rationalen Koeffizienten sind.
(c) Ist(M2×3(Q),+,·)einR-Vektorraum?
(d) Ist(M2×3(Z),+,·)einZ-Vektorraum?
Aufgabe G3 (Lineare Funktionen)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen linear sind.
(a) f : R→R x7→1 (b) f : R→R
x7→0 (c) f : R→R
x7→x2 (d) f : R→R
x7→2x (e) f : {0, 1} → {0, 1}
x7→x2
Aufgabe G4
(a) SeienKein Körper undV undW zweiK-Vektorräume. Sei f :V →W. Angenommen, es gilt∀λ∈K:∀x,y∈V : f(λx+y) =λf(x) +f(y). Folgt daraus, dass f linear ist?
(b) Seien f,g:V →Wzwei lineare Abbildungen undλ∈K. Istλ·f +gauch linear?
(c) Was kann man aus der obigen Antwort herleiten?
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Hausübung
Aufgabe H1 (Lineare Funktionen)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen linear sind.
(a) f : R×R→R (x,y)7→3x−4y (b) f : R×R→R
(x,y)7→3x−4y+2 (c) f : R×R→R
(x,y)7→x y (d) f : R→R
(x,y)7→x2+y2 (e) f : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1}
(x,y)7→x y
Aufgabe H2 (Eine einfache Abbildung)
Sei(K,+,·)ein Körper und(V,+,·)einK-Vektorraum. Seif eine AbbildungV→V, mit∀x∈V:∃λ∈K: f(x) =λ·x.
Zeigen Sie∃λ∈K:∀v ∈V : f(x) =λ·x. (Hinweis: Seien x und yinV. Betrachten Sie zuerst den Fall x=αyoder y=αx, dann betrachten Siex+y.)
Aufgabe H3
Sind die folgenden Mengen Untervektorräume bekannter Vektorräume?
(a) Die reellenn×mMatrizen, deren Summe der Koeffizienten Null ist.
(b) Die invertierbaren reellenn×nMatrizen.
(c) Die linearen FunktionenR→R.
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