Lineare Algebra 1 8. Übungsblatt

Lineare Algebra 1 8. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2011/2012

Prof. Dr. A. Kollross 8. Dezember 2011

K. Schwieger

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Zum Aufwärmen)

(a) Welche der folgenden AbbildungenR²→Rsind linear? Begründen Sie ihre Entscheidung.

[ ] (x,y)7→x+2y, [ ] (x,y)7→x y, [ ] (x,y)7→ |x|.

(b) Seiϕ:V →W eine lineare Abbildung undv₁, . . . ,v_n∈V. Zeigen Sie: Sind die Bilderϕ(v₁), . . . ,ϕ(v_n)linear unabhängig, so sind auchv₁, . . . ,v_nlinear unabhängig.

Aufgabe G2 (Koordinaten)

Betrachte denR-VektorraumR³mit der StandardbasisB= (e₁,e₂,e₃)und der BasisB⁰= (b₁,b₂,b₃)mit

b₁:= (1, 0, 1)^T, b₂:= (1, 1, 0)^T, b₃:= (0, 1, 1)^T.

(a) Der Vektorw∈R³habe bezüglich der BasisB⁰die Koordinaten(3, 2, 1)^T. Bestimmen Sie die Koordinaten von wbezüglich der BasisB.

(b) Der Vektorv ∈R³habe bezüglich der StandardbasisBdie Koordinaten(2, 2, 2)^T. Bestimmen Sie die Koordi- naten vonv bezüglich der BasisB⁰.

(c) Bestimmen Sie die Koordinaten vonb₁,b₂,b₃bezüglich der BasisB⁰. Aufgabe G3 (Spiegelung an einer Ebene)

Wir betrachten den reellen VektorraumR³. Mitσ:R³→R³bezeichnen wir die Spiegelung an der Ursprungsebene E:={x∈R³|x₂+x₃=0}.

(a) Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene an und eine Basis des linearen TeilraumsE.

(b) Bestimmen Sie die Matrix vonσbezüglich einer geeignet gewählten BasisBvonR³. (c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Standardbasis bzgl. der BasisB.

(d) Bestimmen Sie die Matrix vonσbezüglich der kanonischen Basis vonR³. Aufgabe G4 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen)

Zeigen Sie die Dimensionsformel für lineare Abbildungen: Für eine lineare Abbiludng ϕ : V → W auf einem endlich-dimensionalem VektorraumV gilt

dimV =dim(kerϕ) +dim(imϕ).

Aufgabe G5 (Lineare Abbildung auf direkten Summen)

(a) (Erinnerung?) SeiU₁,U₂⊆V zwei lineare Teilräume mitU₁∩U₂={0}. Seib₁, . . . ,b_neine Basis vonU₁und c₁, . . . ,c_meine Basis vonU₂. Dann istb₁, . . . ,b_n,c₁, . . . ,c_meine Basis vonU₁⊕U₂.

(b) SeienV =U₁⊕U₂undW zwei Vektorräume undφ1:U₁→W undφ2:U₂→W zwei lineare Abbildungen.

Zeigen Sie: Es gibt genau eine lineare Abbildungφ:V→W, sodassφ|U₁=φ1undφ|U₂=φ2.

(c) SeiVein endlich-dimensionaler Vektorraum. SeienU₁,U₂zwei Untervektorräume vonV, sodass es für je zwei lineare Abbildungenφ1:U₁→W undφ2:U₂→W genau eine lineare Abbildungφ:V→W mitφ|U₁=φ1

undφ|U₂=φ2gibt. Zeigen Sie, dassV=U₁⊕U₂gilt.

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Hausübung

Aufgabe H1 (Cals(2×2)-Matrizen)

Betrachten Sie die Menge der komplexen Zahlen V := C als Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.

Machen Sie sich klar, dassv₁:=1undv₂:=ieine Basis vonCbilden. Für eine komplexe Zahlzbetrachten wir die folgende Abbildung

ϕz:C→C, ϕz(w):=z·w. (a) Zeigen Sie, dassϕzeine lineare Abbildung ist.

(b) Bestimmen Sie die darstellende MatrixA_zvonϕzbezüglich der Basis1,i.

(c) Beschreiben Sie die Abbildungϕzfür eine reelle Zahlez∈Rund für eine Zahl auf dem Einheitskreis,|z|=1, geometrisch in eigenen Worten.

(d) Zeigen Sie, dass die Menge aller darstellenden Matrizen{A_z|z∈C}mit der üblichen Addition und Multipli- kation einen Körper bilden.

Aufgabe H2 (Lineare Unabhängigkeit in Funktionenräumen)

Sei M eine nichtleere Menge. Betrachte den VektorraumF(M,R)aller Funktionen f : M →Rmit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation. Zeigen Sie:

(a) Seienx₁, . . . ,x_n∈M. Dann ist die folgende Abbildung linear:

eval_x1,...,xn:F(M,R)→Rⁿ, f 7→ f(x₁), . . . ,f(x_n) .

(b) Seien f₁, . . . ,f_n∈ F(M,K). Gibt es Elemente x₁, . . . ,x_n∈M, so dass die Vektorenv₁, . . . ,v_n∈Rⁿmit

v_i:= f_i(x1), f_i(x2), . . . ,f_i(xn) (1≤i≤n) (1) linear unabhängig sind, so sind auch die Funktionen f₁, . . . ,f_nlinear unabhängig.

(c*) Gilt auch die Umkehrung: Sind f₁, . . . ,f_n∈ F(M,R)linear unabhängig, so gibt es Elementex₁, . . . ,x_n∈M, so dass die Vektorenv₁, . . .v_naus (1) linear unabhängig sind?

Aufgabe H3 (Schwingungen gleicher Frequenz)

Betrachte den reellen VektorraumF(R,R)aller Funktionen f :R→R. Fürα∈Rbezeichne f_αdie Funktion mit f_α(t):=sin(t+α). Wir bezeichnen mitUden von diesen Funktionen aufgespannten Untervektorraum:

U:=span{f_α:α∈R}.

(a) Skizzieren Sie einige der Funktionen f_α für verschiedene Werte vonα. Zeigen Sie, dass die Funktionen f,g mit f(t):=sin(t)undg(t):=cos(t)inUliegen.

(b) Zeigen Sie, dassUein zweidimensionaler Untervektorraum vonF(R,R)ist. Bestimmen Sie eine Basis vonU.

(c) Berechnen Sie die Koordinaten der Funktion f_π/4bezüglich der Basis aus (b).

(d) Seiα0∈Rfix. Machen Sie sich klar, dass für jede Funktion f ∈U auch die Funktion(S f)(t):= f(t+α0), t∈R, wieder inU liegt. Zeigen Sie, dass die Abbildung

S:U→U, f 7→S f

linear ist. Beschreiben Sie die AbbildungSanhand Ihrer Skizze mit eigenen Worten. Bestimmen Sie die Matrix vonSbezüglich der Basis aus (b).

Hinweis:Verwenden Sie Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.

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