Physik II f¨ ur MWWT
Prof. Martin H. M¨user, Lehrstuhl f¨ur Materialsimulation
SS 2018
Ubungsblatt 5 ¨
Dipole und ihre Wechselwirkungen
Geben Sie bitte 3 der 5 regul¨aren ¨Ubungsaufgaben ab. Sie d¨urfen dazu Zweiergruppen bilden.
Punkte aus Zusatzaufgaben werden dazu addiert. Die L¨osungswege m¨ussen nachvollziehbar sein. Das in der Vorlesung behandelte Material darf als bekannt vorausgesetzt werden. Es darf aber weder von Quellen ohne deren Angabe kopiert werden, noch d¨urfen L¨osungen Dritten zur Verf¨ugung gestellt werden. Bei offensichtlicher Zuwiderhandlung behalten wir uns vor, das Ubungsblatt mit null Punkten zu bewerten. Formeln aus dem Skript d¨¨ urfen als gegeben vor- ausgesetzt werden.
Abgabetermin: 22.05.2018 vor der ¨Ubung
1. Wechselwirkung zwischen Ladung und Dipol
Gegeben sei ein Dipol p1 am OrtR1 sowie eine Ladung Q2 am OrtR2. Zur Vereinfachung der Aufgabe d¨urfen Sie (unter Abzug von 1 Punkt) annehmen, dass R1 im Ursprung liegt.
a) Nehmen Sie die Formel f¨ur das elektrische Potenzial eines Dipols, um eine Formel f¨ur die Wechselwirkungsenergie Ladung-Dipol herzuleiten. [2 Punkte]
b) Nehmen Sie die Formel f¨ur das elektrische Feld einer Punktladung, um eine Formel f¨ur die Wechselwirkungsenergie Ladung-Dipol herzuleiten. [2 Punkte]
c) Ein H2O-Molek¨ul mit einem Dipol von p = 0,4 e·˚A sitze im Ursprung und eine Na+ Atom in einem Abstand von 3˚A auf der x-Achse. Wie orientiert sich das H2O Mo- lek¨ul, um die Wechselwirkungsenergie zu minimieren und wie groß ist die resultierende
Coulombenergie? [6 Punkte]
2. Dipole auf der x-Achse
Dipole seien auf der x-Achse angeordnet und zwar beix = 0, x =±a,x =±2a, etc.
a) Wie groß ist die Coulomb-Wechselwirkungsenergie je “Bindung” zwischen zwei n¨achsten Nachbarn, wenn die Dipole parallel zur y-Achse ausgerichtet sind? Geben Sie eine nu- merische Absch¨atzung f¨ura = 3 ˚A undp = 0.4 e·˚A(Taschenrechner ist OK). [3 Punkte]
b) Wie groß ist die Coulomb Wechselwirkungsenergie je Dipol, wenn Sie etwas weiter schauen als bis zum n¨achsten Nachbarn? Angabe bitte in Vielfachen der Antwort aus
(a). [3 Punkte]
c) Wiederholen Sie die ¨Ubung f¨ur eine Ausrichtung der Dipole entlang der x-Achse. Alle Dipole sollen in dieselbe Richtung schauen. [4 Punkte]
3. Dipol einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
Die Ladungsverteilung in einer Kugel mit Radius R sei gegeben durch ρ(r) = ρ0 ·z/R.
Berechnen Sie
a) Die Gesamtladung. [3 Punkte]
b) Das Dipolmoment bzw. den “Dipolvektor”. [7 Punkte]
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Hinweis: Letztes Semester mussten Sie im Rahmen der Berechnung von Tr¨agheitsmomen- ten ¨ahnliche Integrale auswerten. Zudem: Symmetrieargumente sind erlaubt, so Sie richtig formuliert sind.
4. Dipol in externem Feld
a) Ein starrer Dipol der Massem befindet sich auf derx-Achse am Ortx0. Sein Dipolmo- mentp ist ebenfalls parallel zux. Das elektrische Feld auf derx-Achse sei auch parallel zux, aber r¨aumlich heterogen, n¨amlich Ex(x) =Ex(x0) +Ex0(x0)(x −x0). Wie groß ist
seine Beschleunigung? [4 Punkte]
b) Wiederholen Sie die ¨Ubung aus Teil (a) unter der Annahme einer beliebigen Orientie- rung des Dipols und der folgenden Abh¨angigkeit des elektrischen Feldes am Ortr0 des
Dipols: [6 Punkte]
Eα(r) =Eα(r0) +
3
X
β=1
Tαβ(r0)(rβ −r0,β)
Hinweis: α = (1,2,3) steht f¨ur (x,y,z). Tαβ(r0) gibt an, um wieviel sich die α- Komponente des elektrischen Feldes je Strecke parallel zu nβ ¨andert. Kenntnisse der Tensorrechnung aus der technischen Mechanik d¨urfen auch in diesem Kurs verwendet werden.
5. Induzierter Dipol
Ein Atom, dessen Elektronenschale (2 Valenzelektronen) mit einer “Federsteifigkeit” von k = 103 N/m an den Kern gekoppelt ist, befindet sich in einem Abstand d = 3 ˚A von einem einfach geladenen Kation. Wie groß ist der Betrag des induzierten Dipols und welche Energie gewinnt das System durch die Bildung des Dipols? [10 Punkte]
6. Zusatzaufgabe: Dipole auf dem Quadratgitter
Identische Dipole mit Betrag p seien auf einem regul¨aren Quadratgitter in der xy-Ebene angeordnet. Die Gitterkonstante ist a0. Alle Dipole zeigen in die y-Richtung. Sch¨atzen Sie das elektrische Feld ab, in dem sich ein Dipol befindet. Beachten Sie, dass nicht alle n¨achsten Nachbarn ¨aquivalent sind und dass dies auch f¨ur ¨ubern¨achste Nachbarn (u.s.w.)
gilt. [10 Punkte]
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