Physik II f¨ur MWWT
Prof. Martin H. M¨user, Lehrstuhl f¨ur Materialsimulation
SS 18
2. Testat
Bitte schreiben Sie Name und Matrikelnummer auf jedes Blatt. 1 Aufgabe je Blatt.
Die f¨unf besten Aufgaben werden gewertet. 40 Punkte entsprechen 100%.
Elektronische oder andere Hilfsmittel sind nicht erlaubt! Nur Papier, Lineal und Ku- gelschreiber.
Sie sollten Kugelschreiber verwenden. Wenn Sie mit Bleistift schreiben, wird es gewertet, aber es kann keine Korrektur der Bewertung geben.
1. NaCl Molek¨ul
Die Wechselwirkungsenergie eines NaCl Molek¨uls sei durch die Gleichung V = W
n an − 1 4πε0
Q2 a
gegeben, wobei Q in guter N¨aherung einer Elementarladung entspricht. Leiten Sie in (a) und (b) Ausdr¨ucke her f¨ur:
a) Den Gleichgewichtsabstandaeq als Funktion von W, Q und n. [4 Punkte]
b) Die effektive Federkonstante, keff ≡ ∂2V/∂a2 bei a = aeq als Funktion von Q, n und
aeq. [6 Punkte]
2. Ersatzwiderstand
Wie groß ist der Erstatzwiderstand der gezeigten Anordnung und welche Verlustleistung erfolgt, wenn eine Spannung von U = 3 V anliegt? [10 Punkte]
R2= 50Ω
R3= 50Ω
R4= 15Ω R1= 20Ω
3. Kondensatorschaltungen
Beide gezeigten Kondensatoren haben identische Abmessungen – Gesamtfl¨ache Aund Plat- tenabstand d – und beide sind zur H¨alfte mit einem Dielektrikum (εr >1) gef¨ullt.
a) Leiten Sie jeweils eine Formel f¨ur die Kapazit¨at der Kondensatoren her. [7 Punkte]
b) Testen Sie durch Einsetzen der Zahl εr = 4 welcher der beiden Kondensatoren die h¨ohere Kapazit¨at hat und zeigen Sie dann, dass dieser Kondensator f¨ur jeden erlaubten
Wert die h¨ohere Kapazit¨at hat. [3 Punkte]
1
4. Strom- und Spannungsquelle
Eine reale Spannungsquelle mit innerem Widerstand R1 ist an eine reale Stromquelle mit innerem Widerstand R2 angeschlossen. Siehe Abbildung.
I0 = 1 A R2= 1 MΩ
R1 = 1µΩ U = 1 V +-
I0 →
a) Stellen Sie eine jeweils hilfreiche Knoten- und Maschenregel auf. [2 Punkte]
b) Finden Sie eine Gleichung (ohne Einsetzen von numerischen Werten), die den StromI1 durch R1 und die SpannungU2 anR2 angibt. [4 Punkte]
c) Um wieviel ist der Betrag von I1 kleiner als I0 f¨ur die in der Abbildung angegebenen Zahlenwerte, und um wieviel ist die Spannung U2 gegen¨uberU erh¨oht? [4 Punkte]
5. Dipole auf quadratischem Molek¨ul
Vier permanente, ideale Dipole, die jeweils den Betrag p0 haben und parallel zu der Diago- nalen (1,1) ausgerichtet sind, befinden sich auf den Eckpunkten eines Quadrats der Kan- tenl¨angea. Nutzen Sie Symmetrien, die Sie begr¨unden sollen, und berechnen Sie die Coulomb Gesamtenergie der Anordnung (in cgs: 4πε0 = 1). [10 Punkte]
6. Ferro- und Dielektrika im elektrischen Feld
Die (freie) Energie eines Dielektrikums sei durch den Ausdruck F = a
2(T −Tc)P2+b
4P4−P ·E
gegeben, wobei P die Polarisation darstellt, a,b >0 und Tc die sogenannte kritische Tem- peratur, unterhalb der sich das Dielektrikum in ein Ferroelektrikum umwandelt. Der Ein- fachheit halber werden Polarisation und elektrisches Feld als skalare Gr¨oßen dargestellt. Im Gleichgewicht minimiert P die (freie) Energie.
a) Skizzieren Sie F(P) f¨ur T >Tc,T =Tc und T <Tc, jeweils bei E = 0. [3 Punkte]
b) Wie groß istP, wenn T <Tc und E sehr, sehr klein aber negativ ist? [4 Punkte]
c) Berechnen Sie die (freie) Energie des Dielektrikums bei T =Tc und E 6= 0. [3 Punkte]
7. Rechnen mit komplexen Zahlen
Leiten Sie unter Verwednung der Euler’schen Formel, eix = cos(x) +isin(x), das Additions-
theorem f¨ur sin(x +y) her. [10 Punkte]
2
Hilfsformeln
Coulombsche Gesetz: Fj→i = QiQj 4πε0
ri −rj rij3 Gaußsches Gesetz:
I
dA·E= 1 ε0
Qin Potenzial einer Punktladung Qi: Φ(r) = 1
4πε0
Qi
|r−ri| Elektrisches Feld vom Potenzial: E(r) =−∇Φ(r)
Definition des Dipols: p=X
n
qnrn
Induzierter Dipol: p=αE
Energie eines permanenten Dipols: Vpot =−p·E
Von Dipol pi, der sich am Ort ri befindet, erzeugte Potenzial:Φ(r) = 1 4πε0
pi ·(r−ri)
|r−ri|3 ... und sein Feld: E(r) = 1
4πε0
3{pi ·(r−ri)}(r−ri)−pi|r−ri|2
|r−ri|5 Ladung eines Kondensators: Q =C ·U
Kapazit¨at eines Kondensators: C =ε0εr ·A/d
Elektrostatische Energiedichte: w = ε0εr
2 E2 =D·E/2
Widerstand: R= 1
σ · l A Ohm’sche Verlustleistung: P =RI2
Knotenregel: X
n
σnIn = 0
Maschenregel: X
n
RnIn =X
n
Uext
Einige Konstanten in S.I. Einheiten: relevante SI Grundeinheiten: m, kg, s, A ε0 ≈8,85·10−12; e ≈1,60·10−19; me≈9,11·10−31
Einige Rechenregeln:
Potenzreihe: f(x) =X
n=0
f(n)(x0)
n! (x −x0)n
√10≈3,16; √3
10≈2,15; ln 2≈0,693; ln 10≈2,30 Volumenelement in Kugelkoordinaten: dV =r2dr dcosϑdϕ Volumenelement in Zylinderkoordinaten: dV =rdr dϕdz
Ausschuss
1. Zusatzaufgabe: NaCl Kristall
Die Wechselwirkungsenergie zwischen Na und Cl Ionen im drei-dimensionalen Kochsalz Kristall (einfach kubisches Gitter, wobei Cl Ionen die Na als n¨achste Nachbarn haben und umgekehrt) sei wie in Aufgabe 1 durch die Gleichung
V = W
n an − 1 4πε0
Q2 a
gegeben. Der Wert f¨ur n sei zu n = 8 bestimmt worden, sodass die Repulsion nur f¨ur n¨achste Nachbarn relevant ist.
a) Wie groß ist die Coulomb-Energie des Kristalls je Atom, wenn Sie die Wechsel- wirkung bis zur 4. Schale komplett ber¨ucksichtigen und alle weiteren Schalen ver-
nachl¨assigen? [6 Punkte]
b) Wieviele Atome aus der 4. Schale sollten sinnvoller Weise ber¨ucksichtigt werden?
[2 Punkte]
c) Schreiben Sie einen Ausdruck f¨ur die Gesamtenergie (je Atom) des Kristalls auf, in
der Ihnen bestm¨oglichen N¨aherung. [2 Punkte]
4
