Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Lösungen von Blatt 0 vom 22.10.15
Aufgabe 0.1
SeienAeineσ-Algebra auf einer MengeΩ,m∈Nund (Ai)i∈N eine Folge mitAi∈ Afür jedesi∈N. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen ebenfalls Elemente vonAsind:
∅,
m
[
i=1
Ai,
m
\
i=1
Ai, \
i∈N
Ai, A1\A2.
Aufgabe 0.2
a) SeienΩ6=∅eine beliebige Menge undA⊂Ω. Bestimmen Sieσ({A}).
b) Geben Sie auf der MengeΩ ={1,2,3}alle möglichenσ-Algebren an.
c) SeiΩ6=∅eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass das Mengensystem
A={A⊂Ω|Ahöchstens abzählbar oderΩ\Ahöchstens abzählbar}
eineσ-Algebra aufΩist.
Aufgabe 0.3
Sei Ω eine Menge, A eine σ-Algebra auf Ω sowieµ : A → [0,∞) eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
• µ(Ω) = 1,
• µist additiv,
• µist von unten stetig1.
Beweisen Sie, dassµdann auchσ-additiv ist.
Lösungsvorschläge Aufgabe 0.1
Aus der Definition einer σ-Algebra folgt:
• ∅= Ωc∈ A.
• Definiere eine Folge (Bi)i∈N durch B1 = A1, B2 = A2, . . . , Bm = Am, Bm+1 = Bm+2 =. . .=Am. Dann giltBi∈ Afür jedesi∈Nund somit
m
[
i=1
Ai= [
i∈N
Bi ∈ A.
•
m
\
i=1
Ai =
m
[
i=1
Aci
!c
∈ A.
1d.h. für jede aufsteigende FolgeA1⊂A2⊂. . .⊂Ω,Ai∈ Agilt
µ [
i∈N
Ai
!
= lim
i→∞µ(Ai).
Übungsblatt 0 – Lösungen Seite 2
• \
i∈N
Ai = [
i∈N
Aci
!c
∈ A.
• A1\A2 =A1∩Ac2∈ A.
Aufgabe 0.2
a) σ({A}) ={∅,Ω, A, Ac}.
b) Es gibt insgesamt fünf mögliche σ-Algebren aufΩ. Diese lauten:
A1 ={∅,Ω}, A2 =P(Ω) ={∅,Ω,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}, A3 ={∅,Ω,{1,2},{3}}, A4 ={∅,Ω,{1,3},{2}}, A5={∅,Ω,{2,3},{1}}.
Sobald eineσ-Algebra aufΩzwei zweielementige Teilmengen von Ωenthält, ist sie gleich P(Ω).
c) Wir verifizieren alle Eigenschaften einerσ-Algebra:
• Ω∈ A, dennΩ\Ω =∅ und diese Menge ist höchstens abzählbar.
• SeiA∈ A, d.h.A höchstens abzählbar oder Ac höchstens abzählbar. O.B.d.A A höchstens abzählbar. Dann ist (Ac)c =A höchstens abzählbar und somit Ac∈ A.
• Sei(Ai)i∈Neine Folge mit Ai ∈ Afür jedes i∈N. Betrachte die folgenden drei Fälle:
(1) Ai höchstens abzählbar für jedes i ∈N. Dann ist S
i∈N
Ai als abzählbare Vereinigung höchstens abzählbarer Mengen höchstens abzählbar.
(2) Es existiert ein i ∈ N, so dass Aci höchstens abzählbar ist. Dann ist (S
i∈N
Ai)c= T
i∈N
Aci höchstens abzählbar.
Insgesamt gilt also S
i∈N
Ai ∈ A.
Damit istAeine σ-Algebra.
Aufgabe 0.3
Sei(Ai)i∈Neine Folge paarweiser disjunkter Mengen aus A. DefiniereBk=
k
S
i=1
Ai. Dann ist (Bk)k∈N eine aufsteigende Folge und es gilt
µ
[
i∈N
Ai
=µ
[
k∈N
Bk
= lim
k→∞µ(Bk) = lim
k→∞µ
k
[
i=1
Ai
= lim
k→∞
k
X
i=1
µ(Ai) =
∞
X
i=1
µ(Ai),
wobei in der zweiten Gleichheit Punkt 3, in der vierten Gleichheit Punkt 2 und im letzten Schritt Punkt 1 der Eigenschaften vonµverwendet wurden.
