Allgemeine Exponentialfunktion - Nullstellen - Formel

(1)

* Funktionsgleichung einer allgemeinen Exponentialfunktion aus zwei Punkten bestimmen

* Formel für Nullstellen einer allgemeinen Exponentialfunktion

* Basis einer allgemeinen Exponentialfunktion anhand eines Graphen ermitteln

* Funktionsgleichung einer allgemeinen Exponentialfunktion anhand eines Graphen aufstellen

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten" bei unterricht.de

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(2)

Frage

Der Graph zeigt eine Funktion der Formf (x) =b^x +d. Bestimme die Basisb anhand geeigneter Funktionswerte.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: b = 3

B: b = 1

2

C: b = 2

D: b = 1

3

L¨ osung

Der Graph hat die Asymptote y =−6.

c unterricht.de|support-id: 17884

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

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(3)

f (0) =−5

Abst¨ande der Funktionswerte zur Asymptote ablesen:

3 hat von −6 den Abstand 9.

−3 hat von−6 den Abstand 3.

−5 hat von−6 den Abstand 1.

Die Abst¨ande dritteln sich nach jedem Schritt, fallen also exponentiell mit dem Faktor 1 3. Die Basis der Funktion zu dem gegebenen Graphen istb = 1

3.

(4)

Frage

Der Graph zeigt eine Funktion der Formf (x) =a ·12^x +b. Bestimme die Parameter a und b.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: f (x) = 1

8·12^x −8 B: f (x) = 1

4·12^x −4 C: f (x) = 1

8·12^x −4 D: f (x) = 1

4·12^x −8

L¨ osung

Der Parameterb kann mithilfe der Asymptote bestimmt werden.

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(5)

Der PunktA(1| −2,5) liegt auf dem Funktionsgraphen. Er erf¨ullt somit die Funktionsgleichung.

−2,5 =a·12¹−4 1,5 = 12a

a = 1 8 a = 1

8 undb =−4 in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (x) = 1

8 ·12^x −4

(6)

Frage

Die Funktionf (x) =a·6^−x⁻³+b verl¨auft durch die PunkteA(−6|25) und B(−5|5).

Bestimme die Parameter a und b.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: f (x) = 1

9·6^−x⁻³+ 1 B: f (x) = 1

9·6^−x⁻³−2 C: f (x) = 1

5·6^−x⁻³−2 D: f (x) = 1

5·6^−x⁻³+ 1

L¨ osung

Liegt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, so erf¨ullen dessen Koordinaten die Funktionsgleichung.

Punkt A in die Funktionsgleichung einsetzen:

25 =a·6^{−(−6)−3}+b 25 = 216a+b (I)

Punkt B in die Funktionsgleichung einsetzen:

5 =a·6^{−(−5)−3}+b 5 = 36a +b (I I)

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(7)

Gleichungssystem l¨osen:

(I)−(I I) : 20 = 180a a = 1

9 a = 1

9 in die Gleichung (I I) einsetzen:

5 = 36·1 9 +b 5 = 4 +b b = 1 a = 1

9 undb = 1 in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (x) = 1

9 ·6^−x⁻³+ 1

(8)

Frage

Bestimme die Nullstelle der Funktion y = 1

3·5^x −11.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: x = 33

5 B: x =log₅33

C: x = 3

D: x =log₅11 3

L¨ osung

Die Nullstelle ist derx -Wert, an dem der Graph der Funktion diex -Achse schneidet.

Die Nullstelle bestimmt man mit dem Ansatz:

y = 0 1

3·5^x −11 = 0 1

3·5^x = 11 5^x = 33

Auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log₅ anwenden:

log₅(5^x) =log₅33 x ·log₅5 =log₅33 x =log₅33≈2,17

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