Lineare Gleichungssysteme lösen - Aufgaben mit Videos

(1)

* Lösen mit dem Additionsverfahren

* Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Lineare Gleichungssysteme" bei unterricht.de

KOSTENLOSER ONLINE-KURS JETZT ONLINE ÜBEN

(2)

Frage

Bestimme die L¨osungsmenge des Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

I: 6x − 18y = −6

I I: x + 3y = 5

Antwortm¨ oglichkeiten

A: x = 2; y = 1 B: x =−1; y = 2 C: x = 7; y = 2 D: x =−4; y = 3 E: Keine L¨osung

L¨ osung

L¨ose eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf.

In diesem Fall bietet sich GleichungI I an.

I I: x + 3y = 5 | −3y

x = 5−3y

Setze nun in die andere Gleichung ein.

Hier setzen wir f¨ur x in GleichungI den Term 5−3y ein.

I a: 6(5−3y)−18y = −6 30−18y −18y = −6 30−36y = −6

L¨ose nun die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf, in diesem Fall nach y.

c unterricht.de|support-id: 34014

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 1

unterricht.de bietet mit seinen Kursen mit über 100.000 Übungsaufgaben zu den Fächern Mathematik, Englisch und Deutsch ein einzigartiges Angebot für das Online-Lernen. Einfach ausprobieren unter unterricht.de

(3)

I I a: x + 3·1 = 5

x + 3 = 5 | −3

x = 2

Nun kannst du die L¨osung angeben.

x = 2; y = 1

(4)

Frage

Bestimme die L¨osungsmenge des Gleichungssystems mit Hilfe des Additionsverfahrens.

I: −x − 5y = 2

I I: x + 8y = 4

Antwortm¨ oglichkeiten

A: x = 2; y = 14 B: Keine L¨osung C: x =−7; y = 1 D: x = 12; y =−1 E: x =−14; y = 2

L¨ osung

Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen so, dass eine der beiden Variablen wegf¨allt.

In diesem Fall bietet sich I+I I an.

(−x −5y) + (x + 8y) = 2 + 4

−x −5y +x + 8y = 6 3y = 6

L¨ose nun die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.

3y = 6 |: 3 y = 2

Setze das Ergebnis in eine der urspr¨unglichen Gleichungen ein und berechne so die andere Variable.

Seite 1

(5)

Nun kannst du die L¨osung angeben.

x =−14; y = 2

(6)

Frage

Bestimme den Schnittpunkt P der zwei Graphen rechnerisch mit dem Gleichsetzungsverfahren.

I: y = 12x − 24

I I: y = 18x − 42

Antwortm¨ oglichkeiten

A: P(2|0) B: P(3|12) C: P(6|6)

D: Unendlich viele L¨osungen E: P(1| −12)

L¨ osung

Den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnest du, indem du ihre Terme gleichsetzt.

12x −24 = 18x −42

Nun bringst du alle Terme mit x auf die eine Seite der Gleichung, alle Zahlen auf die andere Seite und l¨ost nachx.

12x − 24 = 18x − 42 | −12x

− 24 = 6x − 42 |+ 42

18 = 6x |: 6

3 = x

Setze den Wert f¨ur x in eine der beiden Gleichungen ein und berechne somit y.

Seite 1

(7)

x = 3; y = 12

(8)

Frage

Welches lineare Gleichungssystem hat als L¨osungx = 2 undy =−2?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: Keins

B: { y = 3x −4

y = x

C: { y = −2x + 2 y = 2x −6

D: { y = x + 2

y = −x −2

E: { y = x −4

y = −x + 2

L¨ osung

Die Lösung erfüllt beide Gleichungen des Gleichungssystems. Setze für x die Zahl 2 und für y die Zahl−2 ein und prüfe auf Richtigkeit.

Beispiel: y = 3x −4 Einsetzen:

−2 = 6−4

−2 = 2 (falsch)

Richtige Antwort: { y = −2x + 2 y = 2x −6 Probe: { −2 = −4 + 2

−2 = 4−6

Seite 1

(9)

Die Differenz zweier Zahlenf und m betr¨agt 3. Die Zahl m ist zehnmal so groß wie die Zahl f. Welches Gleichungssystem f¨uhrt zu den Zahlen f undm?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: { f −m = 3

m = 10f

B: { f −m = 3

m = ₁₀¹f

C: { f −m = 3

m +f = 10

D: { f −m = 3

f = 10m

L¨ osung

Es gibt zwei Aussagen, die zu beachten sind.

1. Die Differenz zweier Zahlenf undm betr¨agt 3.

2. Die Zahlm ist zehnmal so groß wie die Zahlf.

Wandle jede Aussage in eine mathematische Gleichung um.

1. Die Differenz zweier Zahlenf und m betr¨agt 3. ⇐⇒ f −m = 3 2. Die Zahlm ist zehnmalso groß wie die Zahlf. ⇐⇒ m = 10f Das gesuchte Gleichungssystem lautet:

{ f −m = 3 m = 10f