Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 1 - L¨ osungsblatt
Ausgabe: Freitag 18. Oktober, Besprechung: Freitag 25. Oktober
1. Betrachten Sie die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) = 1
√
8πσ2 exp
− x2 2σ2
+ exp −(x−µ)2 2σ2
!!
(1) Bestimmen Sie den Erwartungswerthxi dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung gem¨aß
hxi=
∞
Z
−∞
xP(x)dx (2)
Stellen Sie P(x) f¨ur σ = 0.5 und µ = 4.0 graphisch dar und erl¨autern Sie anhand ihrer Darstellung die anschauliche Bedeutung vonhxi.
Mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung von P(x) = 1
√ 8πσ2
exp
− x2 2σ2
+ exp
−(x−µ)2 2σ2
(3) und der vorgegebenen Relation f¨ur den Erwartungswert einer kontinuierlichen Verteilung berechnet sich der Erwartungswert f¨urx wie folgt
hxi=
∞
Z
−∞
xP(x) dx
= 1
√
∞
Z x
exp
− x2 + exp
−(x−µ)2 dx
hxi= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
(v+µ) exp
− v2 2σ2
dv
= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
vexp
− v2 2σ2
dv
| {z }
=0
+
∞
Z
−∞
µexp
− v2 2σ2
dv
= µ
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
exp
− v2 2σ2
dv
= µ
√ 8πσ2
s π
1 2σ2
= µ 2
Die Betrachtung einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Wertenσ= 0.5 undµ= 4.0 ergibt also folgenden Erwartungswert f¨urx
hxi= µ 2 = 2
Betrachtet man die Funktion mit den eingesetzten Werten f¨ur σ und µ ergibt sich die folgende Gleichung
P(x) = 1
√2π
e−2x2 + e−2(x−4)2
(5) welche wie folgt aussieht, wenn sie graphisch dargestellt wird.
Der Erwartungswerthxibedeutet hier, dass der Durchschnitt aller m¨oglichen Ergebnisse der Messung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 2 ist, obwohl die wahrscheinlichsten Werte x = 0 und x = 4 sind und die Wahrscheinlichkeit einen Messwert von x = 2 zu erhalten nahe Null ist. Der Erwartungswert stellt also einen Mittelwert f¨ur die Verteilung dar und sagt nichts dar¨uber aus, wie wahrscheinlich sein Auftreten ist.
2. Das Doppelspaltexperiment an einem Elektronenstrahl (siehe Abbildung) illustriert den Welle-Teilchen-Dualismus. Die Wellenfunktion des Elektrons l¨asst sich nach Durchlau- fen des Doppelspalts als ¨Uberlagerung (Superposition) zweier Komponenten schreiben:
Ψ(x) =ψ1(x) +ψ2(x).
a) Wie lautet die AufenthaltswahrscheinlichkeitsdichteP(x) =|Ψ(x)|2 des Elektrons?
Mit dem Einsetzen der Funktion Ψ(x) =ψ1(x) +ψ2(x) in das Betragsquadrat, wel- ches als Definition f¨ur die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte gegeben ist, ergibt sich folgender Ausdruck
P(x) =|Ψ(x)|2 = Ψ∗(x)·Ψ(x)
= (ψ1(x) +ψ2(x))∗·(ψ1(x) +ψ2(x))
c) Es seien nun die zwei Funktionen ψ1(x) = exp −a(x−x¯1)2
·exp (i(ω1t−k1x)) und ψ2(x) = exp −a(x−x¯2)2
·exp (i(ω2t−k2x)) gegeben. Nutzen Sie das be- reitgestellte Python-Skript, um ψ1(x), ψ2(x), ψ1(x) + ψ2(x), |ψ1(x)|2, |ψ2(x)|2,
|ψ1(x)|2+|ψ2(x)|2 und |ψ1(x) +ψ2(x)|2 darzustellen. (Hinweis: Nicht alle notwen- digen plot-Befehle sind im Skript enthalten, manche m¨ussen erg¨anzt werden.) d) Zusatz: ¨Andern Sie die gegebenen Parameter und beobachten Sie, wie sich die Funk-
tionen und Intensit¨aten ver¨andern.
Die zwei Funktionenψ1(x) undψ2(x) stellen in diesem Fall die beiden Komponenten dar, aus denen sich Ψ zusammensetzt. Es handelt sich um ebene Wellen multipliziert mit einer Gaußfunktion. Die Visualisierung der verschiedenen Zusammensetzungen mit Hilfe des bereitgestellten Python-Skripts liefert folgende Ergebnisse:
Abbildung 1: Hier sind die beiden Komponentenψ1(x) undψ2(x) dargestellt. Bei beiden han- delt es sich um Wellenpakete.
Abbildung 2: Hierbei handelt es sich um die gesamte Wellenfunktion, die aus den beiden zuvor gezeigten Komponenten besteht. Sie ist die ¨Uberlagerung der Einzelfunktionen.
Abbildung 4: Zuletzt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte gezeigt, ein Mal ohne und ein Mal mit den beiden Mischtermen aus Aufgabenteil a). Dabei wird deutlich, dass erst durch die Mischterme das typische Interferenzmuster entsteht.
3. Schr¨odingers Katze soll mittels einer Wellenfunktion |ψcati beschrieben werden, die sich in der vollst¨andigen Orthonormalbasis {|ϕalivei,|ϕdeadi}darstellen l¨asst. Betrachten Sie nun insbesondere die Wellenfunktion
|ψcati=calive|ϕalivei+cdead|ϕdeadi
mitcalive, cdead ∈C, die die Katze als koh¨arente ¨Uberlagerung der Zust¨ande|ϕalivei und
|ϕdeadibeschreibt. Die Wellenfunktion |ψcatisei ferner normiert.
a) Bestimmen Sie die Skalarproduktehϕalive|ψcatiundhϕdead|ψcati. Welche Bedeutung haben diese Skalarprodukte?
Die Skalarprodukte berechnen sich wie im Folgenden dargestellt
hϕalive|ψcati=hϕalive|(calive|ϕalivei+cdead|ϕdeadi)
=hϕalive|calive|ϕalivei+hϕalive|cdead|ϕdeadi
=calivehϕalive|ϕalivei
| {z }
=1
+cdeadhϕalive|ϕdeadi
| {z }
=0
=calive
(7)
beziehungsweise
hϕdead|ψcati=hϕdead|(calive|ϕalivei+cdead|ϕdeadi)
=hϕdead|calive|ϕalivei+hϕdead|cdead|ϕdeadi
=calivehϕdead|ϕalivei
| {z }
=0
+cdeadhϕdead|ϕdeadi
| {z }
=1
=cdead
(8)
Beide Skalarprodukte liefern den zugeh¨origen Koeffizienten, der die Gewichtung der jeweiligen Funktion in der Gesamtfunktion angibt. Prinzipiell sind diese Ska- larprodukte die Projektion der jeweiligen Basisfunktion|ϕaliveioder |ϕdeadi auf die
Die Betragsquadrate der jeweiligen Koeffizienten geben die Wahrscheinlichkeit an, das System im entsprechenden Zustand|ϕalivei oder |ϕdeadi zu finden. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt 1, d. h.|calive|2+|cdead|2 = 1.
Hilfreiche Formeln
∞
Z
−∞
xexp(−ax2)dx= 0 , a∈R+
