Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 1

Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 1

Ausgabe: Freitag 18. Oktober, Besprechung: Freitag 25. Oktober

1. Betrachten Sie die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) = 1

√

8πσ² exp

− x² 2σ²

+ exp −(x−µ)² 2σ²

!!

(1) Bestimmen Sie den Erwartungswerthxi dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung gem¨aß

hxi=

∞

Z

−∞

xP(x)dx (2)

Stellen Sie P(x) f¨ur σ = 0.5 und µ = 4.0 graphisch dar und erl¨autern Sie anhand ihrer Darstellung die anschauliche Bedeutung vonhxi.

2. Das Doppelspaltexperiment an einem Elektronenstrahl (siehe Abbildung) illustriert den Welle-Teilchen-Dualismus. Die Wellenfunktion des Elektrons l¨asst sich nach Durchlau- fen des Doppelspalts als ¨Uberlagerung (Superposition) zweier Komponenten schreiben:

Ψ(x) =ψ1(x) +ψ2(x).

a) Wie lautet die AufenthaltswahrscheinlichkeitsdichteP(x) =|Ψ(x)|² des Elektrons?

b) Warum giltP(x)6=|ψ₁(x)|²+|ψ₂(x)|²?

c) Es seien nun die zwei Funktionen ψ₁(x) = exp −a(x−x¯₁)²

·exp (i(ω₁t−k₁x)) und ψ2(x) = exp −a(x−x¯2)²

·exp (i(ω2t−k2x)) gegeben. Nutzen Sie das be- reitgestellte Python-Skript, um ψ₁(x), ψ₂(x), ψ₁(x) + ψ₂(x), |ψ₁(x)|², |ψ₂(x)|²,

|ψ₁(x)|²+|ψ₂(x)|² und |ψ₁(x) +ψ₂(x)|² darzustellen. (Hinweis: Nicht alle notwen- digen plot-Befehle sind im Skript enthalten, manche m¨ussen erg¨anzt werden.) d) Zusatz: ¨Andern Sie die gegebenen Parameter und beobachten Sie, wie sich die Funk-

tionen und Intensit¨aten ver¨andern.

Fortsetzung auf der R¨uckseite!

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3. Schr¨odingers Katze soll mittels einer Wellenfunktion |ψ_cati beschrieben werden, die sich in der vollst¨andigen Orthonormalbasis {|ϕ_alivei,|ϕ_deadi}darstellen l¨asst. Betrachten Sie nun insbesondere die Wellenfunktion

|ψ_cati=calive|ϕ_alivei+cdead|ϕ_deadi

mitc_alive, c_dead ∈C, die die Katze als koh¨arente ¨Uberlagerung der Zust¨ande|ϕ_alivei und

|ϕ_deadibeschreibt. Die Wellenfunktion |ψ_catisei ferner normiert.

a) Bestimmen Sie die Skalarproduktehϕ_alive|ψ_catiundhϕ_dead|ψ_cati. Welche Bedeutung haben diese Skalarprodukte?

b) Bestimmen Sie nun die Betragsquadrate| hϕ_alive|ψ_cati |²und| hϕ_dead|ψ_cati |². Welche Bedeutung haben diese Gr¨oßen?

Hilfreiche Formeln

∞

Z

−∞

xexp(−ax²)dx= 0 , a∈R⁺

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