Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 5
Ausgabe: Freitag 15. November, Besprechung: Freitag 22. November
1. Die Elektronen des π-Systems linearer Polyene lassen sich in erster N¨aherung mit dem Teilchen-im-Kasten-Modell beschreiben. Betrachten Sie dazu ein generalisiertes lineares Polyen CH2=CH(-CH=CH)l-CH=CH2, wobei N die Anzahl der Doppelbindungen im System bezeichnet (N =l+ 2).
a) Bestimmen Sie die L¨angeLdes
”Kastens“, in den dasπ-System des Molek¨uls einbe- schrieben werden kann, als Funktion vonN. Nehmen Sie dabei an, dass der C-C-C- Bindungswinkel 120◦ betr¨agt und dass sowohl die formalen C-C-Einfachbindungen als auch die formalen C=C-Doppelbindungen imπ-System dieselbe L¨angedhaben.
b) Wie lauten die Energieniveaus des Kastens E als Funktion von N und von der Quantenzahln?
c) Wie viele Elektronen befinden sich imπ-System eines linearen Polyens mitN Dop- pelbindungen? Besetzen Sie die Energieniveaus gem¨aß dem Pauliprinzip mit dieser Anzahl an Elektronen. Welche Werte nimmt die Quantenzahl n f¨ur das h¨ochste besetzte Niveau (HOMO) bzw. das niedrigste unbesetzte Niveau (LUMO) an?
d) Geben Sie einen Ausdruck f¨ur die Energiedifferenz ∆Ezwischen HOMO und LUMO an. Wie verh¨alt sich ∆E als Funktion vonN?
e) Berechnen Sie ∆E explizit f¨urβ-Carotin (siehe Abbildung 1). Verwenden Sie dabei, dass d= 140 pm und me = 9.109 38×10−31kg. Interpretieren Sie dieses Ergebnis als Energie einer optischen Anregung. Welche Wellenl¨ange haben die entsprechenden Photonen? Welcher Farbe entspricht dies?
f) Wie w¨urde sich ∆E ¨andern, wenn β-Carotin (i) ein gr¨oßeres (N = 20) und (ii) ein kleiners (N = 5)π-System h¨atte?
Abbildung 1: Molek¨ulstruktur desβ-Carotins.
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite!
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2. Die Schr¨odingergleichung eines Teilchens in einem zweidimensionalen Kasten lautet
−~2 2m
∂2
∂x2 + ∂2
∂y2
+V(x, y)
Ψ(x, y) =EΨ(x, y) mit
V(x, y) =
(0 0≤x≤Lx ∧ 0≤y≤Ly
∞ sonst
a) Verwenden Sie den Separationsansatz Ψ(x, y) = ψx(x)ψy(y), um die Eigenfunk- tionen und -energien des Teilchens im zweidimensionalen Kasten zu bestimmen.
Welcher Ausdruck ergibt sich aus dieser Separation f¨ur die Gesamtenergie?
b) Setzen Sie Ihre erhaltenen L¨osungen f¨ur ψx(x) und ψy(y) in das bereitgestellte Python-Skript ein (markiert mit
”???“) und visualisieren Sie so die Eigenfunktionen des Teilchens im zweidimensionalen Kasten. Variieren Sie auch nx und ny. Wie ver¨andert sich die Form der Eigenfunktionen in Abh¨angigkeit von nx und ny? c) Welche Bedingung muss f¨ur Lx und Ly gelten, damit die Eigenzust¨ande mit den
Quantenzahlen (nx= 2, ny = 2) und (nx = 4, ny = 1) entartet sind?
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