Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 7
Ausgabe: Freitag 29. November, Besprechung: Freitag 06. Dezember
1. Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren unter Zuhilfenahme einer allgemeinen Test- wellenfunktionψ(x).
a) [ˆx,p]ˆ b) [ˆx,Tˆ]
c) [ˆp,T]ˆ
Dabei gilt ˆx=x, ˆp=−i~dxd und ˆT =−2m~2 dxd22.
Was sagen Ihre Resultate bez¨uglich der gleichzeitigen, beliebig genauen Messbarkeit der Gr¨oßenx,p und Ekin aus?
2. Berechnen Sie das Unsch¨arfeprodukt ∆x∆p f¨ur den Grundzustand des harmonischen Oszillators:
ψ(x) =mω π~
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e−mω2~x2 Dabei ist ∆A=
q
hAˆ2i − hAiˆ 2 die Standardabweichung der ObservablenA.
3. Betrachten Sie den Grundzustand des Teilchens im Kasten. Sie m¨ochten sequenziell den Impuls und die kinetische Energie messen.
a) Liefert die individuelle Messung des Impulses bzw. der kinetischen Energie ein ein- deutiges Ergebnis? Falls nicht, welche Messergebnisse sind m¨oglich? Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten diese auf?
b) H¨angt das Ergebnis der sequenziellen Messung von der Reihenfolge der Einzelmes- sungen ab?
c) Berechnen Sie f¨ur beide m¨ogliche Reihenfolgen den Zustand des Systems am Ende der Gesamtmessung.
d) Besitzt das Teilchen im Kasten einen scharfen Impuls?
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite!
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4. Betrachten Sie eine normierte Superposition der ersten beiden L¨osungen der zeitab¨angigen Schr¨odingergleichung f¨ur den harmonischen Oszillator:
ψ(x, t) =a0ϕ0(x) exp
−i
~~ω(0 + 1 2)t
+a1ϕ1(x) exp
−i
~~ω(1 +1 2)t
a) Berechnen Sie die Zeit t = τ, nach der das Wellenpaket identisch zum Zeitpunkt t= 0 ist.
b) Bringen Sie die Zeit τ mit dem klassischen Analogon einer schwingenden Feder in Verbindung.
Hilfreiche Formeln
∞
Z
−∞
exp −ax2 dx=
rπ
a , a∈R+
∞
Z
−∞
xexp −ax2
dx= 0 , a∈R+
∞
Z
−∞
x2exp −ax2 dx=
r π
4a3 , a∈R+
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