Ubungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I ¨ WS 2019/20 – ¨ Ubungsblatt 3
Ausgabe: Freitag 01. November, Besprechung: Freitag 08. November
1. Pr¨ufen Sie, ob φ(x) =Nexp(−ikx) eine Eigenfunktion des a) Ortsoperators ˆx=x
b) Impulsoperators ˆp=−i~dxd
c) Operators der kinetischen Energie ˆT = 2mpˆ2
ist. Wie lauten gegebenenfalls die Eigenwerte? Es gelte N ∈ C, k ∈ R und m ∈ R+. Handelt es sich nicht um eine Eigenfunktion, so bestimmen Sie den Erwartungswert und interpretieren Sie ihn.
2. Gegeben sei die nur im Bereich [−2π,2π] definierte Funktion ϕ(x) =Nsin(x).
a) Normieren Sieϕ(x). (Tipp: sin2(x) = 12(1−cos(2x)))
b) Handelt es sich bei ϕ(x) um eine Eigenfunktion des Impulsoperators ˆp = −i~dxd ? Wenn ja, wie lautet der Eigenwert? Wenn nein, bestimmen Sie den Erwartungswert.
c) ϕ(x) ist eine Eigenfunktion des Operators der kinetischen Energie ˆT = 2mpˆ2 . Berech- nen Sie den Eigenwert. Berechnen Sie auch den Erwartungswert. Was schließen Sie aus dem Ergebnis?
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite!
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3. Sie haben die normierte Wellenfunktion ψ(x) = 4
r2a
π exp −ax2 und die Hamiltonoperatoren
Hˆ1 =−~2 2m
d2
dx2 (Freies Teilchen)
Hˆ2 =−~2 2m
d2 dx2 +1
2mω2x2 (Teilchen in harmonischem Potential) gegeben, wobeia, m, ω∈R+.
a) Wenden Sie die Hamiltonoperatoren ˆH1 und ˆH2 auf die Wellenfunktion ψ(x) an.
b) Wie muss der Parameteragew¨ahlt werden, damitψ(x) eine Eigenfunktion von ˆH2 ist? Wie lautet dann der zugeh¨orige Eigenwert?
c) Mit dem in b) gew¨ahlten Wert f¨ur a handelt es sich bei ψ(x) um eine L¨osung der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung f¨ur ein Teilchen in einem harmonischen Potential, wie es z. B. bei Molek¨ulschwingungen vorkommt. Konstruieren Sie aus ψ(x) eine L¨osung Ψ(x, t) der zugeh¨origen zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung.
d) Pr¨ufen Sie, ob Ψ(x, t) tats¨achlich die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung erf¨ullt.
e) Erkl¨aren Sie, warum Ψ(x, t) nur eine sogenannte triviale Zeitabh¨angigkeit hat.
f) Haben Sie eine Idee, wie eine weniger triviale Zeitabh¨angigkeit erreicht werden k¨onnte? (Tipp: Denken Sie an ¨Ubungsblatt 1 zur¨uck)
g) Zusatz: Stellen Sie ψ(x), Ψ(x, t), |ψ(x)|2 und |Ψ(x, t)|2 graphisch dar.
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