Beugung und reziprokes Gitter

Physik V - Formelsammlung

von Julian Merkert, Wintersemester 2006/07, Prof. v. Löhneysen

Bindungen

Potenzielle Energie zweier Atome im Abstandrij =ri−rj:φij=−_r^am ij

+_r^bn ij

, a, b, n, m >0∈R Bindungsenergie:U_b= ^N₂ P

i,jφ_ij Ionenbindung

Paarpotenzial:φ_ij=±_4πε^Z2e2

0rij +_r^bn ij

• Z: Wertigkeit

Bindungsenergie:Ub= ^N₂















−_4πε^Z2e2

0r

X

j6=i

±1 pij

| {z }

=α_M

+_r¹n

X

j6=i

b pⁿ_ij

| {z }

=β















• αM: Madelung-Konstante, z.B. für NaCLαM = 6·1−^√12

2+^√8

3−...

• N: Ionenzahl

• pij: spezisch für Gitterstruktur, ausrij=r·pij mit r=Abstand nächster Nachbarn Bindungsenergie im Gleichgewichtsabstand:U_b(r₀) =−^N₂α_M4πε^Z2e2

0r0 1−_n¹ Metallische Bindung: Valenzelektronen frei beweglich

Paarpotenzial:φij=−_r^a

ij +_r^b2 ij

Kovalente Bindung: Überlapp der Wellenfunktionen der Elektronenhüllennächster Nachbarn Van-der-Waals-Bindung: Dipolmomente der Atome

Paarpotenzial / Lennard-Jones-Potenzial:φij= 4ε

σ r_ij

¹²

−

σ r_ij

⁶

Wassersto-Brückenbindung: Koordination des Protons zu elektronegativem Partner

Kristallstrukturen

Bravais-Gitter: Alle Punkte, die durch die OrtsvektorenR~ =n1~a1+n2~a2+n3~a3gegeben sind

• ~ai linear unabhängig: fundamentale Gittervektoren

• n_i: ganze Zahlen

Einheitszelle / ElementarzelleVe:

• Def.: Volumen um einen Gitterpunkt, das bei periodischer Aneinandersetzung den Raum lückenlos füllt

• Beispiel 1: ParallelepipedVe=|~a1·(~a2×~a3)|

• Beispiel 2: Wigner-Seitz-Zelle, Konstruktion:

Zeichne Verbindungen zu Nachbaratomen

Zeichne Mittelsenkrechten bzw. Mittelebenen dieser Strecken

W.S.-Zelle ist der Teil des Raumes, der dem zugehörigen Punkt näher ist als allen anderen Atomen des Gitters

Anordnung der Atome in der Elementarzelle = Basis Kristallstruktur = Gitter + Basis

Symmetrieoperationen:

1. Translation

2. Rotation um2π,^2π₂,^2π₃ ,^2π₄,^2π₆ (⇒Zähligkeit1,2,3,4,6) 3. Spiegelebenen⇒m

4. Inversion¯1⇒~r→ −~r 5. Drehinversion:¯2,¯3,¯4,¯6 6. Schraubungen

7. Gleitspiegelungen

Gesamtheit der Symmetrieoperationen, die einen Punkt unverändert lassen = Punktgruppe Fundamentale Gittertypen / Bravais-Gitter:

• Schiefwinkliges Gitter:a6=b, ϕbeliebig ⇒2(Punktgruppe)

• Rechtwinkliges Gitter:a6=b, ϕ= 90^◦⇒2mm

• Quadratgitter:a=b, ϕ= 90^◦⇒4mm

• Hexagonales Gitter:a=b, ϕ= 120^◦⇒6mm

• Rechtwinklig zentriertes Gitter:a6=b, ϕ= 90^◦⇒2mm Gittersymbole:

• P: simple cubic, sc

• I: body-center cubic, bcc

• F: face-center cubic, fcc

• C: basiszentriert

• R: rhomboedrisch

Dreidimensionale Bravais-Gitter:

Kristallsystem Anzahl Bravais-Gitter Gittersymbol Achsen + Winkel

kubisch 3 P, I, F a=b=c, α=β=γ= 90^◦

tetragonal 2 P, I a=b6=c, α=β=γ= 90^◦

orthorhombisch 4 P, C, I, F a6=b6=c, α=β=γ= 90^◦

monoklin 2 P, C a6=b6=c, α=β= 90^◦, γ6= 90^◦

triklin 1 P a6=b6=c, α6=β6=γ

trigonal (rhomboedrisch) 1 R a=b=c, α=β=γ <120^◦, 6= 90^◦

hexagonal 1 P a=b6=c, α=β= 90^◦, γ= 120^◦

Häuge Kristallstrukturen:

• kubisch-ächenzentriert (fcc)

primitive Einheitszelle: Rhomboeder mit VolumenV = ^a₄³ Abstand nächster Nachbarn: ^√a₂

Anzahl nächster Nachbarn / Koordinationszahl: 12 Stapelfolge: ABCABC...

• kubisch-raumzentriert (bcc)

Primitive Einheitszelle:V =^a₂³ Abstand nächster Nachbarn: ¹₂√

3a

Anzahl nächster Nachbarn / Koordinationszahl: 8

• hexagonal-dichteste Packung (hcp) wie fcc, aber Stapelfolge ABAB...

kein Bravais-Gitter, Basis besteht aus 2 Atomen bei(0,0,0)und(²₃,¹₃,¹₂)

• Diamant-Struktur

2 fcc-Gitter [in(0,0,0)und(¹₄,¹₄,¹₄)], die um ¹₄ der Raumdiagonalen verschoben sind Abstand nächster Nachbarn: ¹₄√

3a

Anzahl nächster Nachbarn / Koordinationszahl: 4

• NaCl-Struktur

2 fcc-Gitter [in(0,0,0)und(¹₂,¹₂,¹₂)]

Anzahl nächster Nachbarn / Koordinationszahl: 6

• CsCl-Gitter

bcc-Gitter, aber anderes Ion auf raumzentrierter Position Anzahl nächster Nachbarn / Koordinationszahl: 8 Bezeichnung von Kristallebenen:

1. Schnittpunkte der Ebene mit Krisallachsen in Einheiten der fundamentalen Gittervektoren, z.B.2,3,2 2. Bilde Kehrwert: ¹₂,¹₃,¹₂

3. Erweitere auf teilerfremde ganze Zahlen:3,2,3⇐Miller'sche Indices (h k l) 4. Für negative Richtungen:(¯3 ¯2 ¯3)

5. Notation:

• Gleichwertige Ebenen:{h k l}

• Gleichwertige Richtungen:< h k l >

Beugung und reziprokes Gitter

Beugung einer einfallenden Welle

Amplitude am Ort B (allgemein):AB∼e^−iω0tR

%(~r)·e^{−i(~k−~k0)~r}d~r

• ~k−~k₀=K~: Streuvektor

Streuung an periodischer Struktur:A_B(~k) =



 X

alle ~R

e^{−i~k ~R}





| {z }

Gitterf aktor

X

α

f_α(~k)·e^−i~k~rα

!

| {z }

Strukturf aktor

• fα(~k) =R

Atom%α(~r⁰)·e^−i~k~r0d~r⁰: Atomstreufaktor

• R~: Gittervektor

• ~rα: Atompositionα

• ~r⁰: relativer Abstand zu α

Beugungsbedingungen von Laue / Laue-Gleichungen:

• Intensitätsmaxima für~a_j~k= 2πm_j

• mj ganzzahlig

• ~a_j ausR~ =n₁~a₁+n₂~a₂+n₃~a₃ Reziprokes Gitter

Reziprokes Gitter = Menge aller Wellenvektoren G~, die ebene Wellen mit der Periodizität eines gegebenen Gitters bilden, also:e^{i ~G(R+~~ r)}=e^{i ~G~r}

• Reziproker Gittervektor:G~ =h~g1+k~g2+l~g3

• Reziprokes Gitter von bcc = fcc und umgekehrt Fundamentale Gittervektoren des reziproken Gitters:

• ~g1= 2π_~a^~a2×~a3

1(~a₂×~a₃)

• ~g1= 2π_~a^~a3×~a1

2(~a₃×~a₁)

• ~g1= 2π_~a^~a1×~a2

3(~a₁×~a₂)

Streubedingung von Laue:K~ =G~ (Streuvektor = reziproker Gittervektor)

Ein VektorG~hkl=h~g1+k~g2+l~g3des reziproken Gitters steht senkrecht auf den Netzebenen (h k l ).

Bragg-Gesetz:nλ= 2d_hklsinθ

1. Brillouin-Zone = Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters

• Auf den Grenzen der 1. Brillouin-Zone liegen die Spitzen aller Vektorenpaare ~k, ~k0, die die Streubedingung

~k−~k0=G~ erfüllen.

• Weitere Brillouin-Zellen: Mittelsenkrechten zu weiter entfernten reziproken Gitterpunkten Strukturfaktor:S=P

αfα·e^−i~k~rα

• α: Alle Atome in der Elementarzelle

• ~r_α: Lage des Atoms in EZ

• S bestimmt die Intensität des (h k l)-Reexes

Atomstreufaktor / Formfaktor:f_α=R

Atom α%_α(~r⁰)·e^−i~k~r0d~r⁰

• %_α(~r⁰)hängt von Art der Strahlung ab

• falls%α(~r⁰)kugelsymmetrisch: faα= 4πR

%α(r⁰)·r⁰²·^sin_Gr^Gr0⁰dr⁰

Zusammenfassung:

• Aus Lage der ReexeK~ =G~ bei Beugung (verschiedene Strahlungen können verwendet werden, siehe Vorlesung) lassen sich Gestalt und Abmessungen der Elementarzelle eines Gitters bestimmen.

• Intensität der Reexe lässt über Strukturfaktor und Formfaktor Rückschlüsse auf den Inhalt bzw. die Basis der Elementarzelle zu.

Temperaturabhängigkeit der Streuintensität:

• hA_Bi=A₀· e⁻¹⁶hⁿ²i^G2

| {z }

Debye−W aller−F aktor

• hIi=I₀·e^−2W mit W =¹₆ u²

G²

Gitterdynamik

Adiabatische Näherung:

• Bewegungen der Ionen wegen groÿer Masse viel langsamer als bei Elektronen ⇒ Anregungen des Elektronen- Systems erfolgen im Potenzial der momentanen Ionenkonguration.

Potenzial (harmonische Näherung):

U =1 2

X

i,j

φ(R~i−R~j)

| {z }

U_b

+1 2

X

i,j

(~ui−~uj)·∇φ(~ R~i−R~j)

| {z }

(∗)

+1 4

X

i,j

h

(~ui−~uj)²∇~i²

·φ(R~i−R~j)

| {z }

harmon. T erm

+ O(n³)...

| {z }

Ef f ekte hoeherer Ordnung

• ~ri: momentane Position des Atoms mit GleichgewichtslageR~i, ~ri=R~i+~ui

• Ub: statische Gitterenergie

• (∗) =PKräfte auf Atom= 0im Gleichgewicht

• Harmonischer Term:U^harm= ¹₄P

i,j(u_iµ−u_jµ)φ_µν(R~_i−R~_j)·(u_iν−u_jν) φµν(~r) = _∂r^∂2φ(~r)

µ∂r_ν

U^harm=¹₂P

i6=ju_iµD^ij_µνu_jν mitD_µν^ij =δ_ijP

kφ_µν(R_i−R_k)−φ_µν(R_k−R_j)

Dispersionsrelation der linearen einatomigen Kette:ω= 2 qf

M

sin^ka₂

• f: Kopplungskonstante / Federkonstante

• M: Masse

Zustandsdichte der SchwingungsmodenZ(ω):

• Anzahl der Zustände (Schwingungsmoden) pro Volumen im Frequenzintervall[ω, ω+dω]

• Oder: Energie-ZustandsdichteZ(E)

• Z(ω)dω=_π¹ _dω¹

dk

dω

• Z(ω)dω=_πa² √ ^dw

ω_m²−ω²

• R

Z(ω)dω= ^N_V, Anzahl der Zustände pro Volumen

Van-Hove-Singularität: ^dω_dk = 0

Lineare zweiatomige Kette:ω_±² =f·(_m¹ +_M¹)±f ·q

(_m¹ +_M¹)²−_mM⁴ sin^2ka₂

• ω+(k): optischer Zweig

• ω₋(k): akustischer Zweig Phonon: Quasi-Impuls~~k

• Erhaltung nur bis auf einen reziproken Gittervektor

Thermische Eigenschaften des Gitters

Innere Energie des Kristalls:U(T) = Ub

|{z}

Bindungsenergie

+ 1 2

X

~k,s

~ωs(~k)

| {z }

N ullpunktsenergie

+ X

~k,s

~ωs(~k) e^{~ωs(kT~k)−1}

| {z }

T emperaturabhaengigkeit

Spezische Wärme des Gitters:cV = ^{9pN k}_V

T θ_D

³RθD/T 0

y⁴e^y (e^y−1)²dy

• y= ^~_kT^ω

• θD: Debye-Temperatur,k·θD=~ωD

Thermischer Ausdehnungskoezient:α= ¹_l∂T^∂l

_p= _3V^{1 ∂V}_∂T

_p= _3B¹ _∂T^∂p _V

• B= −V_∂V^∂p

_T: Kompressionsmodul

• α=^γ·c_3B^V

γ=

P

~k,sγ_~k,sc_Vs(~k)

c_V : Grüneisen-Parameter γ_~k,s=−^∂_∂^ln_ln^ω_V^~k,s: Grüneisenzahl

Im Debye-Modell:γ~k,s=−^∂_∂^ln_ln^ω_V^D Wärmeleitfähigkeitκ:q˙=−κ ~∇T

• q˙: Wärmestromdichte

• κ=κ^{P hononen}+κ^Elektronen

• κ=¹₃P

~k,sv_~²

k,sτ_~k,sc_~k,s(k) c_~k,s: spezische Wärme

häugl~k,s=v~k,s·τ~k,s: mittlere freie Weglänge

Dielektrische Eigenschaften von Isolatoren

Mikroskopisches elektrisches Feld:∇~E~^mikro(~r) =_ε¹

0%^mikro(~r)

Makroskopische dielektrische Verschiebung:∇ ·~ D(~~ r) =∇(ε~ 0E(~~ r) +P(~~ r)) = 0

• P~: dielektrische Polarisation, gemittelt über Einheitszelle

• E~: makroskopisches elektrisches Feld

Lokales Feld am Ort eines Atoms:E~^lok =E~0+E~1+E~2+E~3

• E~_i=−_ε¹

0N_iP~: Feld durch Dipole in Probe

• Ni: Depolarisationsfaktor,N1+N2+N3= 1(⇒N =¹₃ für Kugel) Lorentz-Beziehung für kubische Symmetrie:E~^lok(~r) =E(~~ r) +_3ε¹

0

P~

• E~^lok(~r) =^ε+2₃ E(~~ r)

• D~ =ε0ε ~E=ε0E~ +P~

• P~ = (ε−1)ε0E~ =χε0E~

Clausius-Mosolli-Beziehung: ^ε−1_ε+1 = _3ε¹

0

1 V

P

jNjαj

• α_j: Polarisierbarkeit eines Atoms,~p=α ~E^lok mit ~patomares Dipolmoment

• ⇔ε(ω) =ε(∞) +^{ε(∞)−ε(0)}_ω2 ω2

T

−1

ω_T² =ω²·_ε(∞)+2

ε(0)+2

Das freie Elektronengas

Ohm'sches Gesetz:~j=σ·E~

Drude-Gleichstrom-Leitfähigkeit:σ= ^n·e_m^2·τ Drude-Wechselstrom-Leitfähigkeit:σ(ω) = _1−iωτ^σ0

Fermi-Wellenvektor, Radius der Fermi-Kugel:kF = 3·π²·n¹₃

• n= ^N_V

Fermi-Impuls:pF =~·kF

Fermi-Energie:EF =^~2_2m^·k2F Fermi-Geschwindigkeit:vF = _2m^pF Fermi-Temperatur:T_F = ^E_k^F

Ein-Elektronen-Zustandsdichte:D(E) = _2π¹2 · ^2m

~²

³₂

·E¹²

• D(EF) =³_2Eⁿ

F

Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion:f_i^N = _{e(Ei−µ)/kT}¹ ₊₁

• = Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron im i-ten Ein-Elektronen-Zustand ist, falls System im thermischen Gleich- gewicht

Spezische Wärme:c_V =γ·T

• γ=^π₃² ·k²·D(EF): Sommerfeld-Konstante Wärmeleitfähigkeit:κ= ¹₃·cV ·l·v³_F

• l=vF·τ= _n·e^~·k2^F·%: freie Weglänge

• cV = ^π₂² ·n·k²· _E^T

F

Elektronen im periodischen Potential

Bloch-Theorem:

• Die Eigenfunktionen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung sind von der FormΨ_n,~k(~r) =e^i~k~r·u_n~

k(~r)mit un_~k(~r+R) =~ un_~k(~r)für alle GittervektorenR~.

• ⇔Ψ_n,~k(~r+R) =~ e^{i~k ~R}·Ψ_n,~k(~r)

• Zu jedem~k gibt es viele Lösungen (so viele wie reziproke Gitterpunkte), Unterscheidung durch Bandindex n, diskrete EnergiewerteEn(k)

• Quasiimpuls für Elektronen:~p=~·~k

• Ψ_n,~k+G~(~r) = Ψ_n,~k(~r)

• E_n,~k+G~ =E_n,~k

• Ein-Elektronen-Zustände im periodischen Gitter lassen sich durch eine Schar von EnergieächenEn(~k)beschrei- ben, die die Periodizität des reziproken Gitters haben:En(~k)Energiebänder

Beziehung zwischen el. Zustandsdichte und Bandstruktur:D_n(E) =R

Sn(E) dS 4π³

1

|∇_~kEn(~k)|

• S_n: Fläche konstanter Energie in primitiver Einheitszelle des Kristalls, z.B. 1. Brillouin-Zone Van-Hove-Singularitäten:∇~kE(~k) = 0

Halbklassische Dynamik von Kristallelektronen

Eektive Massem^∗:

• Kristallelektronen verhalten sich unter Einwirkung äuÿerer Kräfte, als ob sie eine Masse hätten, die durch den Tensor _m^1∗−1

ij gegeben ist, gegeben durch die Krümmung desE(~k)-Verlaufs Boltzmann-Gleichung: ^∂f_∂t +~v∇~rf+F~¹

~∇~kf =_∂f

∂t

Stöÿe

• Beschreibt die Änderung der Verteilungsfunktion der Ladungsträger durch äuÿere Felder und Stöÿe

• F~: Äuÿere Kraft

• Linke Seite: Driftterme durch äuÿere Felder

• Rechte Seite: Stoÿterm

Linearisierte Boltzmann-Gleichung:f(~k)≈f₀(~k) + ^e

~·τ(~k)·E~ · ∇_~kf₀(~k)

• f₀: Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

• τ: Relaxationszeit

Elektrische Leitfähigkeit:σ=_4π^e23~

R

E(~k)=E_F v²_x(~k)

v(~k) ·τ(~k)dS

• Im parabolischen Band:σ=^n·e2_m^·τ(E∗ ^F)

Halbleiter

Einteilung:

• Isolator: alle Bänder entweder voll oder leer Charakterisiert durch EnergielückeE_g

• Metall: wenigstens ein Band teilweise gefüllt

• Intrinsischer Halbleiter: elektronische Eigenschaften werden durch thermische Anregung vom Valenzband ins Leitungsband bestimmt

• Extrinsischer Halbleiter: Eigenschaften durch Ladungsträger aus Verunreinigungen Störstellen) bestimmt Produkt der Ladungsträgerdichten:n·p=N·P·e^{−(EL−EV)/kT} =N·P·E^−Eg/kT

• n(T): Dichte der Elektronen im Leitungsband

• p(T): Dichte der Löcher im Valenzband

• N(T) = ¹_42·m∗ L·k·T π·~²

³₂

• P(T) = ¹_42·m∗ V·k·T π·~²

³₂

Elektronendichte im intrinsischen Halbleiter:ni(T) = ¹₄ ^2kT_π

~²

³₂

(m^∗_Lm^∗_V)³⁴ ·e^−Eg/2kT Chemisches Potential im intrinsischen Halbleiter:µi=EV +^E₂^g +³₄·k·T ·ln^m

∗ V

m^∗_L

• FürT = 0genau in der Mitte der Energielücke Dotierte Halbleiter

• Donatoren liefern zusätzliche Elektronen ins Leitungsband, höhere Valenz als Wirtsmetall DonatorzuständeED benden sich dicht unterhalbEL (Leitungsband)

• Akzeptoren liefern zusätzliche Löcher ins Valenzband, niedrigere Valenz als Wirtsmetall AkzeptorzuständeE_A benden sich dicht oberhalbE_V (Valenzband)

• ⇒Es ist sehr viel leichter, thermisch ein Elektron aus dem Donatorniveau ins Leitungsband anzuregen, oder aus dem Valenzband in die Akzeptorniveaus, als aus dem Valenzband ins Leitungsband.

• Elektronen- / Löcherdichte im intrinsischen Fall (ni |ND−NA|):n, p≈ni±¹₂(ND−NA)

• Elektronen- / Löcherdichte im extrinsischen Fall (ni |ND−NA|):

n-Halbleiter:ND> NA→n=ND−NA, p= _N ⁿ²ⁱ

D−NA n p-Halbleiter:NA> ND→p=NA−ND, n= _N ⁿ²ⁱ

A−ND p