Quantenfeldtheorien auf dem Gitter

(1)

Quantenfeldtheorien auf dem Gitter

A. Wipf

Theoretisch-Physikalisches Institut, FSU Jena

jDPG Theoretikerworkshop January 2012

Simulationen in der Physik

(2)

1 Warum Raumzeitkontinuum→Gitter

2 Funktionalintegrale

3 Skalarfeld auf dem Gitter und Spinmodelle

4 Monte Carlo Simulationen

5 Gittereichtheorien

(3)

Warum diskretisieren wir Quantenfeldtheorien

schwach wechselwirkende Systeme:

Teilsystem weitgehend unabhängig von anderen Teilsystemen

I schwach korrelierte Quantensysteme

I schwach wechselwirkende eff. Freiheitsgrade (Quasiteilchen)

I Halbleiterphysik

I Quantenelektrodynamik

I Schwache Wechselwirkung

I Starke Wechselwirkung bei hohen Energien

I Schwachfeld-Gravitation Störungstheorienanwendbar

(4)

stark wechselwirkende Systeme:

Eigenschaften durch Zusammenwirken der Teilsysteme erklärbar

I stark wechelwirkende, stark korrelierte Teilsysteme

I Hochtemperatur-Supraleiter

I ultrakalte Atome in optischen Gittern

I Spinsysteme in der Nähe von Phasenübergängen

I Starke Wechselwirkung bei niedrigen Energien

I Starkfeldgravitation, Binärsysteme von schwarzen Löchern Je nachSkalakann Theorie schwach oder stark wechselwirken brauchtnicht-störungstheoretische Methoden

(5)

Was kann ein Theoretiker tun?

exakt lösbare Modelle(Ising-, Schwinger-, Thirringmodell) phänomenologische Modellefür effektive Freiheitsgrade Näherungen:

Molekularfeldnäherung, starke Kopplungsentwicklung, Entwicklung für hohe/tiefe Temperaturen, . . .

funktionale Methoden:

∞-System von gekoppeltenSchwinger-Dyson Gleichungen funktionaleRenormierungsgruppengleichungen

ab-initio Gittersimulationen

Gitter-QFT beiT >0:spezielles statistisches System mächtigeSimulationsmethodender statischen Physik

(6)

Pfadintegraldarstellung der Quantenmechanik

Wahrscheinlichkeitsamplitude für Propagation vonq→q⁰ in Zeitt K(t,q⁰,q) =hq⁰|e^−it^H/~^ˆ |qi Propagator

Feynman:K(t,q,q⁰) =gewichtete Summe über alle Pfade System kann längs jedes Pfades vonqnachq⁰ gelangen

q(0) =q and q(t) =q⁰

Superpositionsprinzipfür Wahrscheinlichkeitsamplitude K(t,q⁰,q)∼ X

alleWege

e^iS[Weg]/~

einzelner Weg trägt mit∼exp iS[Weg]/~ bei

(7)

formalesPfadintegral

K(t,q⁰,q)∝

Z q(t)=q⁰

q(0)=q Dqe^iS[q]/^~ Beispiel: Teilchen inR:

s q

0 ε 2ε nε=t

q=q0

q1

q2 qn=q^′

stückweise linearer Weg

(8)

Diskretisierung für Teilchen inR S=

Z t 0

L(q,q)ds,˙ L= m

2q˙²−V(q) Zeitgitter:t →t_k =kε, k =0,1, . . . ,n

Gitterkonstanteε=t/n

Daten eines Wegs:q(t_k)≡q_k mitq₀=q, q(n) =q⁰ Ableitung→Differenzenquotient

q(t˙ _k)≈ q_k+1−q_k ε Integral→Riemannsche Summe

Z t 0

ds V(q(s))≈

n−1

X

k=0

εV(q_k)

(9)

Pfadintegral durch Grenzprozessdefiniert:

K(t,q⁰,q) = lim

n→∞

Z

dq₁· · ·dq_n−1 m 2πiε

n/2

× exp (

iε

k=n−1

X

k=0

m 2

q_k+1−q_k ε

2

−V(q_k)

!)

freies Teilchen (V =0)

K₀(t,q⁰,q) = m 2πi~t

1/2

e^im(q⁰^−q)²^/2^~^t

äußereEich- oder Gravitationsfelder:Diskretisierung subtiler

(10)

Euklidsches Pfadintegral

euklidische Formulierung⇐⇒Hilbertraumtheorie setzet =−iτ in Propagator⇒

K(−iτ,q⁰,q)≡K(τ,q⁰,q) =hq⁰|e^−τ^H/~^ˆ |qi Pfadintegral fürK(t,q⁰,q)⇒Pfadintegral fürK(τ,q⁰,q) fürt→ −iτ ⇒

1

2mq˙²−V(q) −→ −1

2mq˙²−V(q) =−L_E(q,q)˙ i

Z t 0

ds L(q,q)˙ −→ − Z τ

0

ds L_E(q,q)˙

(11)

euklidischesPfadintegral K(τ,q⁰,q)∝

Z _q(τ)=q⁰

q(0)=q Dqe^−S^E^[q]/~

regularisierte Gitterversionq₀=q, q_n =q⁰. K(τ,q⁰,q) = lim

n→∞

Z

dq₁· · ·dqn−1

m 2π~ε

n/2

e^−S^E^(q⁰^,q¹^,...,qⁿ^)/~

mit S_E(. . .) =ε

n−1

X

k=0

(m 2

q_k+1−q_k ε

2

+V(q_k) )

wohldefiniertesWiener-Maßauf Wegenq→q⁰ Maß(diff.bare Wege) =0

Maß(stetige Wege) =1

(12)

Quantenstatistik

Setzeτ =~βundq⁰ =q, integriere überq Z

dq K(~β,q,q) =tr e^−β^H^ˆ =Z(β) =X e^−βEⁿ kanonische Zustandssummezu Hamilton-OperatorHˆ inverse Temperaturβ=1/k_BT

Pfadintegraldarstellung für Zustandssumme

Z(β)∝ I

q(0)=q(~β)Dqe^−S^E^[q]/~

euklidisches Pfadintegral überβ-periodische Wege

(13)

Gittertheorie =klassisches Spinmodell Z(β) = lim

n→∞

Z

dq₁· · ·dq_n m 2π~ε

n/2

e^−S^E^(q¹^,...,qⁿ^)/~

Periodizität:q₀=q_n

Temperaturabhängigkeitε=~β/n

harmonischen Oszillatormit Kreisfrequenzω (~=1) K_ω(β,q,q) =

r mω

2πsinh(ωβ)expn

−mωtanh(ωβ/2)q²o Integral überq ⇒

Z(β) = 1

2 sinh(βω/2) =e^−βω/2

∞

X

n=0

e^−nβω =X e^−βEn

(14)

Energiendes harmonischen Oszillators E_n=ω

n+1

2

, n=0,1,2, . . . allgemein:freie Energie

F(β)≡ −1

βlogZ(β)^β→∞−→ E₀ Euklidscher Ortsoperator

qˆ_E(τ) =e^τ^H/~^ˆ qˆe^−τ^H/~^ˆ , qˆ_E(0) = ˆq(0) thermische Korrelationsfunktionenvonqˆ_E(τ_i)

qˆ_E(τ1)· · ·qˆ_E(τn)

β ≡ 1 Z(β) tr

e^−β^H^ˆˆq_E(τ1)· · ·ˆq_E(τn)

(15)

Pfadintegraldarstellungder zeitgeordneten Produkte hTqˆ_E(τ₁)· · ·qˆ_E(τ_n)i_β = 1

Z(β) I

Dqe^−S^E^[q]q(τ₁)· · ·q(τ_n)

Zustandssumme mit äußerer Quellej

Z(β,j) = Z

dq Z(β,j,q,q)∝ I

Dqe^−S^E^[q]+

Rdτj(τ)q(τ)

isterzeugendes Funktional hTqˆ_E(τ₁)· · ·qˆ_E(τ_n)iβ = 1

Z(β,0)

δⁿ

δj(τ1)· · ·δj(τn) Z(β,j) j=0

(16)

Schwingerfunktional

W(β,j)≡logZ(β,j) erzeugtverbundene Korrelationsfunktionen hTqˆ_E(τ1)ˆq_E(τ2)· · ·ˆq_E(τn)ic,β = δⁿ

δj(τ1)· · ·δj(τn)W(β,j)|j=0

Berechnung vonEnergielücke und Wellenfunktionen hˆq_E(τ₁)ˆq_E(τ₂)iβ = 1

Z(β)tr

e^−(β−τ¹^{) ˆ}^Hqˆe^−(τ¹^−τ²^{) ˆ}^Hˆqe^−τ²^H^ˆ Zerlegung der Eins mit Energie-Eigenzuständen|ni ⇒

h. . .iβ = 1 Z

X

n,m

e^−(β−τ¹^+τ²^)Eⁿe^−(τ¹^−τ²^)E^mhn|qˆ|mihm|qˆ|ni

(17)

Beiträge der angeregten Zuständeexponentiell unterdrückt qˆ_E(τ₁)ˆq_E(τ₂)

β

β→∞−→ X

m≥0

e^−(τ¹^−τ²^)(E^m^−E⁰⁾|h0|qˆ|mi|²

Ähnlich für Einpunktfunktion:β → ∞ ⇒VEV

β→∞lim hˆq_E(τ)iβ =h0|qˆ|0i verbundene Zweipunktfunktion

hqˆ_E(τ₁)ˆq_E(τ₂)i_c,β≡ hqˆ_E(τ₁)ˆq_E(τ₂)i_β− hqˆ_E(τ₁)i_βhqˆ_E(τ₂)i_β bei tiefen Temperaturen

β→∞lim hqˆ_E(τ1)ˆq_E(τ2)i_c,β= X

m>0

e^−(τ¹^−τ²^)(E^m^−E⁰⁾|h0|qˆ|mi|²

(18)

thermische Erwartungswerte^T−→^→0Vakuumerwartungswerte Zusätzlich große Zeitdifferenzenτ1−τ2⇒

hqˆ_E(τ1)ˆq_E(τ2)i_c,β→∞ −→e^−(E¹^−E⁰^)(τ¹^−τ²⁾|h0|ˆq|1i|² EnergielückeE₁−E₀aus exponentiellem Abfall

Übergangswahrscheinlichkeit|h0|q|1i|²als Koeffizient höhere angeregte Energien/Zustände ebenfalls extrahierbar Sämtliche Eigenschaften in Korrelationsfunktionen codiert

(19)

Skalarfeld auf dem Gitter

beschreibenspinlose Teilchen(keine Polarisationsfreiheitsgrade) Subsektor des Standardmodells(Higgssektor)

wichtige Rolle in kosmologischenInflation Fluktuationen = Keime fürStrukturentstehung Wirkung für reelles(ungeladenes) Skalarfeld

S[φ] = Z

d^dxL(φ, ∂µφ) = Z

d^dx 1

2∂µφ∂^µφ−V(φ)

.

(20)

Übergang Punktmechanik→Feldtheorie q_i(t)≡q(t,i)−→φ(t,x) , X

i

−→

Z d^d−1x

Quantisierung:

klassisches Feldφ(x)→ortsabhängiger Operatorφ(xˆ ) Zeitabhängigkeitgemäß Heisenberg-Gleichungen Substitutionsregeln→

Funktionalintegral für zeitgeordnete VEV D

0|Tφ(xˆ ₁)· · ·φ(xˆ n)|0 E

= 1 Z

Z

Dφ φ(x₁)· · ·φ(xn)e^iS[φ]/~

Integration über alle Skalarfelder

(21)

Endliche Temperatur

imaginäre Zeitτ =−it ⇒euklidischer Feldoperator φˆE(x)≡φˆE(τ,x) =e^τ^H^ˆφ(0,ˆ x)e^−τ^H^ˆ, x = (τ,x) VEVhaben (formale) Funktionalintegral-Darstellung

h0|TφˆE(x₁)· · ·φˆE(x_n)|0i= 1 Z

Z

Dφ φ(x1)· · ·φ(xn)e^−S^E^[φ]/~

endliche Temperatur(~=1):β-periodische Felder D

TφˆE(x₁)· · ·φˆE(x_n) E

β = 1

Z(β)tr e^−β^H^ˆTφˆE(x₁)· · ·φˆE(x_n)

= 1

Z(β) I

Dφ φ(x1)· · ·φ(xn)e^−S^E^[φ]

(22)

Effektive Potentiale

Phasenübergänge mit Ordnungsparameter⇒effektives Potential

=Legendre-Transformierteder Schwingerfunktion

=freie Energiedichteim Magnetfeld

Funktionalintegraldarstellung: homogenesj ⇒W ∝βV Z(j)≡e^{βV w(j)}=

I

Dφexp

−S_E[φ] +j Z _β

0

d^dxφ(x)

Schwingerfunktionw(j) ⇒mittleres Feldϕ=hφˆE(x)ij

w⁰(j)= 1 Z(j)

I

Dφ φ(x)e^−S^E^[φ]+j

Rφ=ϕ konjugierte Variablej ←→ϕ

(23)

Krümmung∝verbundene Zweipunktfunktion d²w

dj² =βV

hM²i − hMi²

, M= 1

βV Z

φˆE(x) effektives Potentialu = Legendre Transformierte vonw:

u(ϕ) = (Lw)(ϕ) =sup

j

(jϕ−w(j)) Minimumvonu(ϕ) =Erwartungswert vonφˆE

u⁰(ϕ) =j u(ϕ₀)≤u(ϕ)für alleϕ=⇒ϕ₀=hMij=0

(24)

j w

ϕ u

Die L-Transformation bildet Plateaus in Knicke ab und umgekehrt

Beispiel:V(−φ) =V(φ)⇒HhatZ2-Symmetrie, aber limj↓0w⁰(j) =lim

j↓0 hφˆ_Ei 6=0

spontane BrechungderZ2-Symmetrie (spontane Magnetisierung)

(25)

Gitterregularisierung

d-dim. euklidische Raumzeit→hyperkubisches GitterΛ Gitterpunkte

x^µ=a n^µ mit n^µ∈Z, a Gitterkonstante

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

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a

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a

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a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

N2

a

endliches Gitter: Länge in µ-Richtung:L_µ=aN_µ periodisches Gitter (Torus):

Identifikationx^µ∼x^µ+L_µ Gitterkonstantea

Volumen:V =a^dN₁N₂· · ·N_d

(26)

Diskretisierung der Wirkung: Integral→Riemannsche Summe Z

d^dx. . .−→a^dX . . .

partielle Ableitung

(∂_µφ)(x) = 1

a φ_x+ae_µ−φ_x euklidische Wirkung des freien Gitterfeldes

S_E = a^d 2

X

hx,yi

φ_x−φ_y a

2

+m²a^d 2

X

x

φ²_x

(27)

hx,yi: nächste Nachbarn

alle dimensionsbehaftete Größen inEinheiten vona:

am=m_L, a^(d−2)/2φ=φ_L m_LundφLdimensionsloseGittergrößen Volumen als Vielfache vona^d

Gitterwirkungdes freien Feldes S_L = 1

2 X

hx,yi

φ_L,x −φ_L,y2

+m_L² 2

X

x

φ²_L,x

wechselwirkendes Skalarfeld(lasse IndexLweg) S_L = 1

2 X

hx,yi

φ_x −φ_y2

+X

x

V(φ_x)

(28)

Spinsysteme

Skalarfeld→speziellesklassisches Spinsystem allgemeiner: Spinss_x in allgemeinem TargetraumT T diskret: Isingartige Modelle

T kontinuierlich: kontinuierliche Spinmodelle klassische Hamiltonfunktion

H =−X

x,y

Jxysxsy+X

x

V(sx) homogene nächste-Nachbarn Wechselwirkung⇒

H =−J X

hx,yi

s_xs_y+X

x

V(s_x)

(29)

Zustandssumme(allgemeiner Fall) Z(β) =

Z

dµ(ω)e^−βH(ω), ω={sx ∈ T |x ∈Λ}

Verteilungen der einzelnen Spins (für nichtlineareT) dµ(ω) =Y

x∈Λ

dµ(sx)

Ising-Modell(harmonischer Oszillator der SM) dµ(s) =δ(s²−1)ds =⇒s∈ {−1,1} Z2-symmetrischeH ⇒Zustandssumme für Ising-Modell

Z(β) = X

sx=±1

exp βJ X

hx,yi

s_xs_y

(30)

ErwartungswertvonO(ω)im kanonischen Ensemble hOi(β) = 1

Z(β) Z

dµ(ω)O(ω)e^−βH(ω) Kopplung an äußeres Feld:H=H_h=0−hP

xsx

grundlegende Größender Thermodynamik:

freie Energie: F =−1 βlogZ innere Energie: U =hHi=−∂logZ

∂β Magnetisierung: m=hs_xi=−∂f

∂h Suszeptibilität: χ=X

y

(hs_xs_yi−hs_xihs_yi) =−∂²f

∂h² h=0

(31)

Ising-Modell

einfaches Modell fürFerromagnete exakt lösbar in 1d (Ising, Lenz)

h

hs₀i T=2

T=4

Magnetisierung als Funktion vonhfür das 1d Ising-Modell keine spontane Magnetisierung fürT >0

(32)

exakt lösbarin 2d und fürh=0 (Onsager)

freie Energiedichte:κ=2 tanh(2βJ)/cosh(2βJ)⇒

βf(T) =2βJ−log cosh(2βJ)− 2 π

π/2

Z

0

dθlog

1+ q

1−κ²sin²θ

f(T)→innere Energiedichte, spezifische Wärmec =∂u/∂T findetPhasenübergangbei

κc =1⇔2Jβc=log 1+√

2

⇔T_c ≈2.269J c, m, χ, . . . singulär beiTc

(33)

K u/J

c/k_B

0.2 0.4 0.6

1 2

Innere Energiedichte und spezifische Wärme des 2d Ising-Modells als Funktion vonK =βJ.

(34)

Singularitäten vonc, m, χ,· · · ⇒kritische Exponenten Exponentenuniversell:nur abhängig von

Dimension, Symmetrie, Anzahl Freiheitsgrade 2d-Ising-Modell:kritische Exponenten berechenbar

3d Ising-Modell, Skalarfelder auf Gitter, Eichtheorien ind >2. . . keine analytischen Lösungen bekannt

Wie extrahiert man Information über thermodynamische Größen

kritisches Verhalten

Spektrum (Massen), Matrixelemente, . . . aus einer Gittertheorie

(35)

Monte Carlo Simulationen

Gitterfeldtheorien bzw. Spinmodelle: Berechne hOi= 1

Z I

dµ(ω)e^−S^L^(ω)

Zustandssumme

Z(β) = I

dµ(ω)e^−S^L^(ω)

a-priori Maß

dµ(ω) =Y

x

dµ(φx), z.B. dµ(ω) =Y

x

dφx

Spinmodelle

S_L(ω)→βH(ω), dµ(ω) =Y dµ(sx)

(36)

Numerische Integration?

Skalarfeld auf 64⁴-Gitter:≈10⁷-dimensionales Integral 10 Stützstellen in jeder Richtung⇒10¹⁰⁷ Stützstellen undenkbar mit numerischen Algorithmen

Traub und Pahkov: Finanzproblem auf[0,1]³⁶⁰ Hauptbeitrag zu Integral von

Konfigurationen mitminimalemS_L oderH

⇒Algorithmen die wichtige Konfigurationen auswählen erzeuge Konfigurationen{ω₁, ω₂, . . .}verteilt nache^−S^L^(ω)

hOi ∝X

µ

O(ωµ)

(37)

Stochastische Methoden

stochastische ’important sampling’-Algorithmen Markovkette:

erzeuge Konfigurationen verteilt nach W’keitsverteilung P_eq(ω) = 1

Z e^−S^L^(ω) ÜbergangswahrscheinlichkeitW(ω, ω⁰)

=Wahrscheinlichkeit, dassω→ω⁰ in einem Zeitschritt Forderungen anstochastische Matrix

W(ω, ω⁰)≥0 and X

ω⁰

W(ω, ω⁰) =1

(38)

Übergangswahrscheinlichkeitω →ω⁰ nachzwei Schritten W⁽²⁾(ω, ω⁰) =X

ω1

W(ω, ω1)W(ω1, ω⁰) nachnSchritten

W⁽ⁿ⁾(ω, ω⁰) = X

ω1···ωn−1

W(ω, ω₁)W(ω₁, ω₂)· · ·W(ωn−1, ω⁰) hohe Potenzen vonW bestimmenLangzeitverhalten

WahrscheinlichkeitsverteilungP(ω) P(ω)≥0, X

ω

P(ω) =1

(39)

W wirkt auf Raum der W’keitsverteilungen (PW)(ω⁰) = X

ω

P(ω)W(ω, ω⁰)≥0 X

ω⁰

(PW)(ω⁰) = X

ω

P(ω)X

ω⁰

W(ω, ω⁰) =X

ω

P(ω) =1 Gehen alleωmit W’keit>0 in jedes gegebeneω⁰ ⇒

W hat eindeutigen attraktiven Fixpunkt

P_eqW =P_eq und PW^{n n}−→^→∞ P_eq

jede anfänglichePstrebt gegen dieP_eq

findeW, so dassP_eq∝e^−S^L Gleichgewichtsverteilung

(40)

Detailiertes Gleichgewicht

Gleichgewicht zwischen je zwei Konfigurationen:

im GleichgewichtProzesseω →ω⁰ undω⁰→ω gleich häufig P_eq(ω)W(ω, ω⁰) =P_eq(ω⁰)W(ω⁰, ω)

W erfüllt diese Bedingung⇒ P_eqFixpunktvonW TestwahrscheinlichkeitundAkzeptanzrate

W(ω, ω⁰) =T(ω, ω⁰)A(ω, ω⁰) istωrealisiert, dann ist

T(ω, ω⁰)Wahrscheinlichkeit dafürω⁰ zu testen

A(ω, ω⁰)Annahmewahrscheinlichkeit des getestetenω⁰

(41)

Bedingung

T(ω, ω⁰)A(ω, ω⁰)

T(ω⁰, ω)A(ω⁰, ω) = P_eq(ω⁰) P_eq(ω)

gute Wahl: hohe Akzeptanz max{A(ω, ω⁰),A(ω⁰, ω)}=1 Metropolis Algorithmus(diskrete Modelle)

Testwahrscheinlichkeiten gleich für alleNerreichbarenω⁰ T(ω, ω⁰) =

(1/N wennω→ω⁰ möglich

0 sonst

Akzeptanzrate, die detaillierte Gleichgewicht erfüllt

A(ω, ω⁰) =min

P_eq(ω⁰)T(ω⁰, ω) P_eq(ω)T(ω, ω⁰),1

(42)

Startkonfiguration ω = { s

₁

, s

₂

, . . . }

1 Vorschlagfür Änderungs₁→s⁰₁mit zufälligems₁⁰

2 Nimmt Wirkung ab,∆S_L<0, dann ersetzes₁durchs⁰₁

3 ∆S_L>0 ⇒wähle Zufallszahlr ∈[0,1]. Vorschlags⁰₁akzeptiert für exp(−∆S_L)>r. Andernfallss₁nicht verändert.

4 Verfahre ebenso mit allen anderen Spinvariablens₂,s₃, . . .

5 letzter Gitterpunkt erreicht⇒Monte Carlo Iterationbeendet

6 beginne wieder bei Schritt 1

(43)

guteWahl der Startkonfigurationspart Rechenzeit realistische Simulationen:

tausende von MC-Iterationen (sweeps)⇒kleine stat. Fehler braucht etwas Zeit, umGleichgewicht zu erreichen

messe Observable um zu testen, ob Gleichgewicht erreicht Gleichgewicht nach ME Iterationen erreicht⇒jetzt messen sukzessive Konfigurationen korreliert (Autokorrelationszeit)

⇒werte nur jede MA’te Konfiguration

anderelokale Algorithmen:Hasting, Wärmebad, . . . lokale Algorithmen: u.U. große Autokorrelationszeiten

(44)

3-Niveausystem (Boltzmannverteilung)

Konfiguration∼Energie-Niveaus,∆S_L ∼∆E Eigenzustände|1i,|2i,|3i, EnergienE₁<E₂<E₃ ergodischestochastische Matrix

W = 1 2





2−B₂₁−B₃₁ B₂₁ B₃₁ 1 1−B₃₂ B₃₂

1 1 0



, B₂₁=e^−β(E²^−E¹⁾ z.B. 3→1 erniedrigt Energie⇒A(3,1) =1

z.B. 1→2 erhöht Energie⇒A(1,2) =e^−βE²/e^−βE¹ =B₂₁ PotenzenWⁿkonvergieren gegen

W_eq= 1 Z





e^−βE¹ e^−βE² e^−βE³ e^−βE¹ e^−βE² e^−βE³ e^−βE¹ e^−βE² e^−βE³





(45)

jede Anfangsverteilung konvergiert gegenBoltzmannverteilung (PWⁿ)→P_eq = 1

Z

e^−βE¹,e^−βE²,e^−βE³

Konvergenzgeschwindigkeithängt von AnfangsverteilungP ab T →0: anfänglich Niveau mit kleinster Energie besetzt

T → ∞: alle Niveaus gleich besetzt Beispiel:

βE₂−βE₁=0.5 , βE₃−βE₂=0.3 schlechte Konvergenz für invertierte Besetzung (p₃=1)

(46)

kalter Start

W W W

warmer Start

p₁ p₂ p₃ p₁ p₂ p₃ p₁ p₂ p₃ p₁ p₂ p₃

Konvergenz von Anfangsverteilungen ins Gleichgewicht

(47)

Anharmonischer Oszillator

euklidische Wirkung(in Gittergrößen) S(ω) =

n−1

X

k=0

nm

2(q_k+1−q_k)²+µq²+λq⁴o Änderung der Wirkung beiq_k →q⁰_k

S(ω⁰)−S(ω) ≈ (q_k⁰ −q_k)h

−m(q_k+1+qk−1) + q⁰_k+q_kn

m+µ+λ

q_k⁰²+q_k²o i

(48)

Virialsatz⇒

1

2mh0|pˆ²|0i= 1

2h0|ˆqV⁰(ˆq)|0i Grundzustandsenergie

E₀=h0|Hˆ|0i= 1 Z

Z

Dqe^−S[q]

1

2qV⁰(q) +V(q)

C-Programm berechnet q²_k

und q_k⁴

⇒E₀ ähnlich:E₁und|ψ0(q)|²

(49)

/∗ program c o n s t a n t s . h ∗/ /∗ s e t s c o n s t a n t s : N, ME, MA ∗/ /∗ mass , mu, lambda , DELTA ∗/

# de fi ne N 100 /∗number o f l a t t i c e p o i n t s∗/

# de fi ne M 1000000 /∗number o f i t e r a t i o n s∗/

# de fi ne ME 500 /∗u n t i l e q u i l i b r i u m i s reached∗/

# de fi ne MA 5 /∗e ve ry MA ’ t h c o n f i g u r a t i o n i s measured∗/

# de fi ne mass 1 . 0

# de fi ne mu 1 . 0 /∗c o u p l i n g o f q∗∗2∗/

# de fi ne lambda 0 . 0 /∗c o u p l i n g o f q∗∗4∗/

# de fi ne DELTA 0 . 5 /∗change o f v a r i a b l e = DELTA(1−2 random )∗/ double m u l e f f =mass+mu ;

double qnew , q [ N ] ; unsigned i n t r e j e c t = 0 ;

(50)

/∗ program stadanho . h ∗/ /∗ change o f a c t i o n ∗/

double d e l t a _ a c t i o n (double y ,double x ,double xs )

{ r e t u r n ( y−x )∗( ( y+x )∗( m u l e f f +lambda∗( y∗y+x∗x ))−mass∗xs ) ; } ; /∗ program mcsweep , arguments : a r r a y q [ N ] , p o i n t e r t o r e j e c t ∗/ void mcsweep (i n t ∗zgr ,double ∗q )

{ i n t i , j ; double qnew , dS ; f o r ( i = 0 ; i <MA; i ++)

f o r ( j = 0 ; j <N ; j ++)

{ qnew=q [ j ] +DELTA∗(1−2∗drand48 ( ) ) ;

dS= d e l t a _ a c t i o n ( qnew , q [ j ] , q [ ( j +1)%N] + q [ ( j +N−1)%N ] ) ; i f ( dS<0) q [ j ] = qnew ;

else

i f ( exp(−dS) > drand48 ( ) ) q [ j ] = qnew ; else ∗z g r =∗z g r + 1 ;

} ; }

/∗c a l c u l a t i o n o f moments∗/ double moments (i n t n ,double ∗q ) { i n t i ; double sum= 0 ;

f o r ( i = 0 ; i <N ; i ++) sum=sum+pow ( q [ i ] , n ) ; r e t u r n sum / N ;

}

(51)

/∗ program anharmonic2 . c ∗/

/∗ M e t r o p o l i s a l g o r i t h m f o r anharmonic o s c i l l a t o r ∗/ /∗c a l c u l a t e s ground s t a t e energy∗/

# include < s t d i o . h>

# include < s t d l i b . h>

# include <math . h>

# include < t i m e . h>

# include " c o n s t a n t s . h "

# include " stdanho . h "

i n t main (void) {

unsigned i n t i , j ;

i n t ∗zgr , p ; double moment2=0 ,moment4 = 0 ; z g r=& r e j e c t ;

srand48 ( t i m e ( NULL ) ) ; /∗i n i t i a l i z e∗/ f o r ( i = 0 ; i <N ; i ++)

q [ i ] =DELTA∗(1−2∗drand48 ( ) ) ; /∗t h e r m a l i z e∗/

f o r ( i = 0 ; i <ME; i ++) mcsweep ( zgr , q ) ;

(52)

/∗s i m u l a t i o n and c a l c u l a t i o n o f moments∗/ r e j e c t = 0 ;

f o r ( i = 0 ; i <M; i ++) {

mcsweep ( zgr , q ) ;

moment2=moment2+moments ( 2 , q ) ; moment4=moment4+moments ( 4 , q ) ; } ;

/∗ground s t a t e energy , o u t p u t∗/ moment2=moment2 /M;

moment4=moment4 /M;

p r i n t f ( " 2nd moment = \ t \ t %7.4 f \ n4th moment = \ t \ t %7.4 f \ n "

" ground s t a t e energy = \ t %7.4 f \ n " ,

moment2 , moment4 , 2∗mu∗moment2+3∗lambda∗moment4 ) ; p r i n t f ( " \ n r e j e c t e d c o n f i g u r a t i o n s %.2 f \ n " , (f l o a t) r e j e c t / ( N∗M∗MA ) ) ;

r e t u r n 0 ; }

(53)

Resultate der MC-Simulation

harmonischerOszillator:(m, µ) = (1,0.5) anharmonischerOszillator:(m, µ, λ) = (1,−3,1)

’exakte Werte’ numerisch berechnet

a E₀(1,0.5) E₀(exakt) E₀(1,−3,1)

1 0.4477 0.4473 -1.4624

1/2 0.4851 0.4851 -1.1339

1/3 0.4928 0.4932 -1.0177

1/4 0.4926 0.4962 -0.9758

1/5 0.4970 0.4976 -0.9466

1/6 0.4948 0.4983 -0.9369

1/7 0.5016 0.4988 -0.9173

1/8 0.4989 0.4991 -0.9144

1/9 0.4992 0.4993 -0.9160

1/10 0.4985 0.4994 -0.9097

(54)

E0 0.2 0.5 a 0.50

0.48 (m, µ, λ) = (1,0.5,0)

0.5 a E0 0.2

−1.10

−0.90

(m, µ, λ) = (1,−3,1)

Extrapolation der MC-Resultate zum Kontinuum (Skalam=1)

(55)

Hybrid-MC Algorithmus

Kombination vonMolekulardynamikundMetropolis-Algorithmus Update ganze Konfigurationen mit guter Akzeptanz⇒

erhält schnell unabhängige Konfigurationen

MD: löse Bewegungsgleichungen numerisch und benutze Ergodenhypothese: Scharmittel = Zeitmittel

Anfangskonfiguration(q₀,p₀)⇒eindeutige Lösung von q˙_i = ∂H

∂p_i , p˙_i =−∂H

∂q_i (1)

ohne numerische Fehler: Energie erhalten

(56)

Implementierung für skalares Feld

erweiterter Phasenraum, Dimension 2|Λ| Punkt imPhasenraum↔ {φ,π}

φ= (φx|x ∈Λ) , π= (πx|x ∈Λ) Hilfs-Hamiltonfunktion

H(φ,π) = π²

2 +S(φ), π²=X

x∈Λ

π_x²

erzeugt Evolution infiktiver Zeit,(φ,π)→(φ⁰,π⁰).

Bildpunkt als Vorschlag, akzeptiert mit Wahrscheinlichkeit A φ,π→φ⁰,π⁰

=min

1,exp H(φ,π)−H(φ⁰,π⁰)

(57)

exakte Lösung:∆H=0⇒mit Sicherheit akzeptiert numerischeRundungsfehler: kleinere Akzeptanz möglich Wahl der Integrationszeit, so dassA≈1

meiste Implementierungen: fiktive Impulse verteilt nach P_G(π) =Ne^−π²^/2

Übergangswahrscheinlichkeit

W(φ,φ⁰) = Z

DπDπ⁰P_G(π)T φ,π →φ⁰,π⁰

A φ,π→φ⁰,π⁰ detailliertes Gleichgewicht fallsIntegrator zeitreversibel, e.g.

leap-frog

(58)

Bewegungsgleichungen φ˙x = ∂H

∂πx

=πx, φ˙ =π

π˙x = −∂H

∂φx

=−∂S

∂φx

=F_x(φ), π˙ =F(φ) Zeitschritt für numerische Integrationh

ein Sweep: Integration überN Zeitschritte

Punkt im Phasenraum nachk Schritten:(φ_(k),π_(k₎) Endpunkt(φ_(N),π_(N))

Algorithmus:Anfangskonfigurationφ₍₀₎(kalt oder warm)

(59)

1 erzeuge Gauss-verteilte Impulseπ₍₀₎, Varianz 1, Mittel 0

2 integriere einen halben Schritt

π_(1/2)=π₍₀₎+¹₂hF φ₍₀₎

3 Iteriere folgende zwei Schritte

a) φ_(k)=φ_(k−1)+hφ_(k_−1/2), k =1,2, . . . ,N b) π_(k+1/2)=π_(k−1/2)+hF φ_(k)

, k =1, . . . ,N−1

4 Integriere Impulse einen halben Schritt

π_(N)=π_(N−1/2)+¹₂hF φ_(N)

5 akzeptiere(φ⁰,π⁰) = φ_(n),π_(N)

mit obigemA(· · · →. . .)

6 beginne von vorne bei Punkt 1

(60)

Eichtheorien

Alle fundamentalen Theorien = Eichtheorien Elektrodynamik:AbelscheU(1)Eichtheorie

elektroschwache Wechselwirkung:SU(2)×U(1)Eichtheorie starke Wechselwirkung:SU(3)Eichtheorie

Gravitation:Eichtheorie

Materiefeldφ(x)∈W, globale Transformationφ(x)→Uφ(x) invariante LagrangedichteL(φ, ∂_µφ), z.B.

L= (∂_µφ, ∂_µφ)−V(φ)

in invariantes Skalarprodukt aufW : (Uφ,Uφ) = (φ, φ) invariantes PotentialV(Uφ) =V(φ)

(61)

Konstruktion einerlokale eichinvarianten Feldtheorie φ(x)−→φ⁰(x) =U(x)φ(x), U(x)∈Eichgruppe benötigen kovariante Ableitung

D_µφ=∂_µφ−igA_µφ

D_µφtransformiert wieφfalls A_µ−→A⁰_µ=UA_µU⁻¹− i

g∂_µUU⁻¹∈Liealgebra Feldstärke

F_µν = i

g[D_µ,D_ν] =∂_µA_ν −∂_νA_µ−ig[A_µ,A_ν] ∈Liealgebra

(62)

homogene Transformation

F_µν(x)−→U(x)F_µν(x)U⁻¹(x) LagrangedichteL(A_µ, ∂_µA_ν, φ, ∂_µφ)

lorentzinvariant, spiegelinvariant, eichinvariant⇒ L=−1

4trF^µνF_µν+ D_µφ,D^µφ

−V(φ)

Prinzip der minimalen Kopplung:

starte mit global invarianter Theorie,ersetze∂_µ→D_µ addiereYang-Mills Term−¹4trF^µνF_µν (cp. Elektrodynamik) Symmetrien und Teilcheninhalt→Lagrangedichte (beinahe)

(63)

Paralleltransport

Cyx Weg vonx nach y, Parametrisierungx(s) Paralleltransportvonφ(x(s))≡φ(s):

0= ˙x^µD_µφ⇐⇒ dφ(s)

ds =igA_µ(s) ˙x^µ(s)φ(s) zeitabhängige Schrödingergleichung mitH =A_µ(x(s)) ˙x^µ(s) seix(0) =x undx(1) =y ⇒

φ(y) =Pexp ig Z 1

0

du A_µ x(u) x˙^µ(u)

! φ(x)

Paralleltransporter längs WegC U(C,A) =Pexp

ig

Z

C

A

∈Eichgruppe

(64)

Kovariante Gitterableitung

Eichtransformation

U(Cyx;A⁰) =U(y)U(Cyx;A)U⁻¹(x)

können Felder an verschiedenen Punkten vergleichen, z.B.

U(Cyx)φ(x) transformiert wie φ(y)

Übergang zum Gitter:Materiefeldφ(x)nur aufx ∈Λdefiniert kovariante Gitterableitung

1

a{φ(x+ae_µ)−U_µ(x)φ(x)} U_µ(x)Paralleltransporter vonx nachx+ae_µ

(65)

Gittereichtheorien

Gitterwirkung für Materiefeld (a=1) S_kin = −2<X

x,µ

φ(x+e_µ,U_µ(x)φ(x)

+ X

x

2dX

x

φ(x), φ(x)

+V(φ(x)

klassisches Spinsystem

lokal eichinvariante NN-Wechselwirkung Yang-Mills Wirkung

nichtkompaktes FeldA_µ(x)−→kompaktes FeldU_µ(x) U_µ(x)≈e^igA^µ^(x)

kompakte Eichfelder auf Links definiert(x, µ)→U_µ(x)

(66)

x x+eµ

x+eµ+eν

x+eν

plaquette p

TransporterU_µν(x)um eine Plakette

Transport um Plakettep∼(x, µ, ν) Up(x) =U_−ν(x +e_ν)×

U_−µ(x +e_µ+e_ν)U_ν(x+e_µ)U_µ(x) Baker-Hausdorff Formel

U_µ(x)≈e^iagA^µ^(x), a1

⇒U_p =e^ia²^gF^µν^(x)+O(a³⁾ transformiert homogen

U_p(x)→U(x)U_p(x)U⁻¹(x) U_p+U_p^†≈2·1−a⁴g²F_µν² (x) +O(a⁶)

(67)

Yang-Mills Theorie auf Gitter

eichinvariante Gitterwirkung für EichfeldU ={U_µ(x)} S_W(U) = 1

g²N X

p

tr

1−1 2

Up+U_p^†

Wilson

speziellSU(2)Yang-Mills Theorie S_W = 1

2g² X

p

tr(1−Up)

verbesserte Gitterwirkungen: verkleinere Fehler (Symanzik) S_YM−S_W =O(a²)

(68)

Funktionalintegral

Mittelung über Gitterfelder{U_µ(x)} Z

DA_µ(x)−→^? Z

Y

(x,µ)

dU_µ(x)

Forderung: Maß eichinvariant

⇒dU_µ(x)eindeutiges Haarmaß Erwartungswertein reiner Eichtheorie

hOˆi= 1 Z

Z Y

(x,µ)

dU_µ(x)O(U)e^−S^W^(U)

Zustandssumme

Z = Z

Y dU_µ(x)e^−S^W^(U)

(69)

Observablen

Confinement

nur farbneutrale (eichinvariante) Zustände im Spektrum charakteristisch für stark wechselwirkende Eichtheorien QED:keine Confinement→Photonen

QCD:Confinement bei tiefen Temperaturen

Gluebälle= farbneutrale gebundene Zustände von Gluonen Wie in Quantenmechanik

G_E(τ) =h0|TO(τˆ ) ˆO(0)|0i=X

n

|h0|Oˆ|ni|²e^−Eⁿ^τ asymptotisch für große euklidische Zeiten

G_E(τ)−→ |h0|Oˆ|0i |²+|h0|Oˆ|1i|²e^−E¹^τ

1+O(e^−τ(E²^−E¹⁾)

(70)

angeregter Zustand mith0|Oˆ |1i 6=0 diktiert Asympotik ME6=0 fallsOˆ|0iund|1igleiche Quantenzahlen Parität, Ladungskonjugation, kubische Gruppe eichinvariante FunktionO(U)der Linkvariablen

Gluebälle:OKombination von Paralleltransportern, korrekte QZ berechne Erwartungswerte mitMC-Simulationen

Spektrum der Gluebällein MeV (Chen et al.)

J^PC 0⁺⁺ 2⁺⁺ 0⁻⁺ 1⁺⁻ 2⁻⁺ 3⁺⁻

m_G[MeV] 1710 2390 2560 2980 3940 3600 J^PC 3⁺⁺ 1⁻⁻ 2⁻⁻ 3⁻⁻ 2⁺⁻ 0⁺⁻

m_G[MeV] 3670 3830 4010 4200 4230 4780

(71)

Eichtheorien bei endlicher Temperatur

Zustandssumme:β-periodische Eichfelder Z(β) =

I Y

(x,µ)

dU_µ(x)e^−S^W^(U)

⇒thermodynamische Potentiale

tiefe Temperaturen: confinement→Gluebälle

hohe Temperaturen: deconfinement→Plasma von Gluonen Phasendiagramm, Ordnung der Phasenübergänge

QCD:Eichfelderplus minimal gekoppelteQuarkfelder

(72)

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

9.70 9.75 9.80 9.85 9.90

hPi

β

Verhalten der Polyakovschleifen beim Phasenübergang,β ∼1/g²

(73)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

P

50 55 60 65 70 75 80 β= 9.7

Histogramm für Polyakovschleife am Phasenübergang

(74)

mögliches Phasendiagramm der QCD

(75)

Simulationen: (lokaler) Hybrid-MC Algorithmus

unproblematisch für Theorien ohne Fermionen undT >0 Simulationen mit Fermionen schwierig und kostspielig Extrapolation zumKontinuuma→0

realistischekleine Quarkmassen Theorien beiendlicher Dichte(µ6=0):

mit Fermionen Wirkung nicht reell, keine W’keitsmass

⇒übliche Simulationstechniken nicht anwendbar bisher

Simulation vonSU(2)Baby-QCD(Swansea, . . . )

Simulation vonG₂-QCD(Jena, B. Wellegehausen, A. Maas, A.W.)