Dr.HolgerCartarius,UniversitätStuttgart
Einführung in relativistische Quantenfeldtheorien
Stuttgart,Wintersemester2014/2015 Revision:19.April2015 FürHinweiseaufDruckfehlerundKommentarejederArtbinichdankbar.1 1HenriMenke,henrimenke@gmail.comÜbertragunginLATEXdurchHenriMenke,MichaelSchmid,MarcelKlettundJanSchnabel.
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik1 1.1GrundlagenderSRT1 1.1.1ExperimentelleTatsachenundKonsequenzen1 1.1.2GeeigneteNotation2 1.1.3Lorentztransformation3 1.1.4RelativistischeKinematik3 1.2DieKlein-Gordon-Gleichung5 1.3DieDirac-Gleichung6 1.3.1Kontinuitätsgleichung9 1.3.2RuhendeTeilchen10 1.3.3BedeutungderZuständenegativerEnergie11 1.3.4ImelektromagnetischenFeld12 2FelderundderenQuantisierung13 2.1EinBeispielausderMechanik13 2.2LagrangeformalismusfürallgemeineFelder15 2.3Feldquantisierung17 2.3.1ZurückzummechanischenBeispiel17 2.3.2Verallgemeinerung19 2.4SymmetrienundErhaltungssätze19 3QuantisierungfreierrelativistischerFelder21 3.1Klein-Gordon-Feld21 3.1.1MotivationderHerangehensweise21 3.1.2KanonischeVariablen21 3.1.3QuantisierungderKlein-Gordon-Gleichung23 3.1.4EigenzuständedesHamiltonoperatorsundderenInterpretation24 3.2DasDirac-Feld28 3.2.1KanonischeVariablen28 3.2.2Quantisierung30 3.3Maxwell-Feld32 3.3.1Maxwell-GleichungenundEichfreiheit32 3.3.2KanonischeVariablen33 3.3.3Quantisierung33 4BehandlungvonWechselwirkungen35 4.1Motivation35 4.1.1GeladenenFermionen35 4.1.2LagrangedichtenfürWechselwirkungen35 4.1.3Modellpotential36 4.2FormalismuszurBehandlungvonWechselwirkungen36 4.2.1ZeitentwicklungundWechselwrikungsbild37 4.2.2Störungsrechnung38 QFTiiiLiteratur
Literatur
[1]J.BjorkenundS.Drell.RelativistischeQuantenfeldtheorie.BI-Hochschultaschenbücher.BibliographischesInstitut,1967.isbn:978-3-860-25596-4.
[2]F.Mandl,G.ShawundR.Bönisch.Quantenfeldtheorie.Aula-VerlagGmbH,1993.isbn:978-3-891-04532-9.
[3]U.Mosel.Fields,Symmetries,andQuarks.Textsandmonographsinphysics.Springer,1999.isbn:978-3-540-65235-9.
[4]F.Schwabl.QuantenmechanikfürFortgeschrittene.Springer-Lehrbuch.Springer,2005.isbn:978-3-540-25904-6.
QFT69 Inhaltsverzeichnis
4.2.3DieStreumatrix394.2.4WickschesTheorem414.3Propagatoren424.3.1Feynman-PropagatorfürdasKlein-Gordon-Feld434.3.2Dirac-undMaxwellfeld45
5Quantenelektrodynamik475.1Wechselwirkungsterm475.1.1Streumatrix475.1.2RechtfertigungderStörungsreihe485.2Feynman-Diagramme485.3EinProzessersterOrdnung505.3.1BeitragzurStreumatrix505.3.2VerschwindenderMatrixelemente515.3.3ExterneelektromagnetischeFelder525.4Feynman-Regeln525.5AusgewählteProzesse2.Ordnung545.5.1Streumatrix2.Ordnung545.5.2VorkommendeProzesse545.5.3Elektron-Elektron-Streuung(Møller-Streuung)555.6Wirkungsquerschnitte575.7KorrekturenhöhererOrdnung585.7.1Divergenzen585.7.2ProblemlosesBeispiel:Photon-Photon-Streuung595.7.3VerbleibendedivergenteTerme605.8IdeenskizzezurRegularisierungundRenormierung605.8.1AnsätzezurRegularisierung605.8.2KonvergenteMatrixelementedurchRenormierung625.8.3Anmerkungen635.9FolgenderKorrektureninderQuantenelektrodynamik64
6KovarianteEichtheorien656.1BereitsbekanntesBeispiel656.2Weiterentwicklung656.2.1GrundlegenderGedanke656.2.2Beispiele66
ivQFT
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1
1 Kurze Einführung in die relativistische Quantenmechanik 1.1GrundlagenderSRT 1.1.1ExperimentelleTatsachenundKonsequenzen Experimentezeigen,dassdieLichtgeschwindigkeitendlichistundinjedemInertialsystem zumgleichenWertgemessenwird.DieswidersprichtjedochderGalileitransformation,denn nachdieserberechnetsichimFallezweierzueinanderbewegterKoordinatensysteme(siehe Abbildung1) r0=r−a−ut,(1.1a)
0˙r˙r=−u.(1.1b) AuchdieelektromagnetischenFeldertransformierensichnichtnachderGalileitransformati- on,sondernnachderLorentztransformation,andernfallsmüssteninjedemInertialsystem dieMaxwellgleichungenanderslauten. Einstein,1905:AnwendungderLorentztransformationaufdieMechanikgibtdierichtige Physikwieder.Ç FürdasgenannteBeispiellautetdieLorentztransformation β0t=γt−x,(1.2a) c 0x=−γβct+γx,(1.2b) K y x
K0 y0 x0 a+ut
u rr0 ñ1GalileitransformationvonInertialsystemKnachK0.DasInertialsystemK0bewegesichmit u=u0exrelativzuK. 2014-10-141
Index
—A—Austauschstreuung,56
—D—differentielleWirkungsquerschnitt,57DimensionsmäßigeRegularisierung,61Dirac-Gleichung,29Dirac-GleichungfüreinfreiesTeilchen,9direkteStreuung,56
—E—Eigenzeit,4
—F—Feynman-DaggerSymbols,9
—H—Hamiltondichte,16HamiltonschenBewegungsgleichungen,17Heisenbergbild,37
—K—kanonischeQuantisierung,19Klein-Gordon-Feld,22Klein-Gordon-Gleichung,5Kontinuitätsgleichung,10Kontraktion,41kontravarianterVektor,2kovarianteVektor,2
—L—Lagrangedichte,14Lamb-Verschiebung,64Lorentzskalar,3
—M— Majorana-Teilchen,27
—N—Noether-Theorem.,19Normalordnung,26
—P—Paarbildung,11Pauli-Gleichung,8Pauli-Villars-Regularisierung,61
—R—relativistischeEnergie-ImpulsBeziehung,5
—S—Strahlungseichung,32Streumatrix,40superrenormierbar,64
—U—Ultraviolettdivergenz,59
—V—Viererimpuls,4Vierervektor,2virtuellePhotonen,57
—W—Wechselwirkungsbild,37WickscheTheorem,42
—Y—Yang-Mills-Theorie,66
—Z—Zeitordnungsoperator,38zweitenQuantisierung,21
QFT67 |GrundlagenderSRT
wobei
β= uc ,(1.2c)
γ= 1p1−β2 .(1.2d)
Eszeigtsich,dasssowohldieZeitalsauchderOrttransformiertwerdenmüssen.
1.1.2GeeigneteNotation
DadieZeitkeingeeigneterBahnparameterist,fassenwirdiesemitdemOrtzueinemVierervektorzusammen
xµ= ctxyz = x0x1x2x3 = ctr !(1.3)
Dabeigiltmeist:
ñgriechischeIndizeszählenvon0...3,
ñlateinischeIndizeszählenvon1...3.
EinkontravarianterVektorwirddurchxµbeschreiben.DaszugehörigeElementimDualraum,derkovarianteVektorwirdmitxµbezeichnet.
DieMetrikderSRTist
ηµν=ηµν= 10000−10000−10000−1 .(1.4)
Mitihrwechseltmanvonkontra-zukovariantenKomponentenundviceversa,
xµ=ηµνxνundxµ=ηµνxν.(1.5)
FürdasSkalarproduktgiltindieserSchreibweise
xµyµ=xµηµνyν=xµηµνyν
=x0y0−x1y1−x2y2−x3y3.(1.6)
22014-10-14
|Weiterentwicklung 6.2.2Beispiele DenerstenAnsatzeinernichtabelschenEichtheoriebeschreibtdieYang-Mills-Theorieaus demJahre1954.DieseforderteineSU(2)-EichinvarianzfüreinIsospin-Feld,welchesbereits eineglobaleSU(2)-Symmetriebesitzt. Φ=Φ1(x) Φ2(x)! ,(6.5a) Φ→Φ0=e−P3 i=1σi 2Θi(x)Φ(x)(6.5b) mitdenGeneratorenσi/2der2×2-DarstellungvonSU(2).Dieserfordertentsprechenddie ExistenzvondreiFeldernWk µ,sodass Wk µ→W0k µ=Wk µ−1 g∂µΘk(x)+X l,mεklmΘl(x)W
m µ
(6.6) und Lint=−g3X k=1ψγµσkWk µψ(6.7a) oder ∂µ→Dµ=∂µ+i g3X k=1σkWk µ(6.7b) gilt.AuchhierlässtsicheineLagrangedichtefinden, LW=−1 4X kGk µνGkµν,(6.8a) Gk µν=∂νWk µ−∂µWk ν−gX l,mεklmWl µWk ν.(6.8b) DieserAnsatzwarursprünglichdafürgedacht,diestarkeWechselwirkungdesIsospin- Feldes(6.5)beschreibenzukönnen,wasjedochnichtgelang.AbereineSU(2)-Eichforderung führteaufdieAustauschfelderderschwachenWechselwrikungmitdendreiFeldernWk µ,was aufdiedreibosonischeAustauschteilchenW+,W−,Z0führt.AnaloggelingtdasFindender8 unabhängigenGluonenmitden8notwendigenErzeugendenderSU(3). 66QFT
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1 1.1.3Lorentztransformation DasvorherigeBeispielausdenGleichungen(1.1a)bis(1.1b)lautetinderVierer-Schreibweise ct0 x0 y0 z0 =
γ−βγ00 −βγγ00 0010 0001
|{z} Λx
ct x y z
.(1.7) DieLorentztransformationenbildeneinGruppe.InderMatrixschreibweiseerfüllensie ΛTηΛ=η,(1.8a) Λµ %ηµνΛν σ=η%σ(1.8b) mit Λµ %= Λµ %T . EinVektoroderLorentzvektortransformiertsichnacheinerLorentztransformation x0µ =Λµ νxν .(1.9) BeiTensorenhöhererStufetransformiertsichjederIndexnachderForm(1.9) A0αβγ δε=Λα µΛβ νΛγ ξΛ% δΛσ εAµνξ %σ.(1.10) EineinvarianteskalareGrößeunterLorentztransformationwirdalsLorentzskalarbezeichnet, derzumBeispielausderKontraktionzweierVektorengebildetwerdenkann, x0µ x0 µ=x0µ ηµνx0ν (1.9) =Λµ %ηµνΛν σx% xσ (1.8b) =η%σx%xσ =x%xσ.(1.11) 1.1.4RelativistischeKinematik EinwichtigerLorentzskalaristdasLängenelementmitdemmandieAbständezwischenzwei PunktenderRaumzeitmisst, ds2=c2dτ2=dxµdxµ =c2dt2−dr2 =(dx0)2−(dx1)2−(dx2)2−(dx3)2.(1.12) Darausfolgt,dassτinvariantunterLorentztransformationist(Lorentzskalar). 2014-10-143
KovarianteEichtheorien|6
6 Kovariante Eichtheorien
6.1BereitsbekanntesBeispiel
IndenÜbungen(Aufgabe7)wurdegefunden,dassdieForderungnacheinerlokalenEichvari-anzderDirac-Gleichung,ψ→ψ0=eiΘ(x)ψ,(6.1)
nurerfülltwerdenkann,wennman
∂µ→Dµ=∂µ+ i qAµ(6.2)
ersetzt,wobeidiezusätzlichenFedlerAµselbstwiedereinerzu(6.1)passendenEichtrans-formationunterliegenmüssen,
Aµ→A 0µ=Aµ+ q ∂µΘ(x).(6.3)
Verlangtman,dassesnocheinenfreienFeldanteilfürdieFelderAµgibt,derdieselbeFormwieψinderLagrangedichtehatundfürsichalleininvariantunter(6.3)ist,soerhältmandieLagrangedichte
Ltot=icψγµ ∂µ+ i qAµ ψ−mc2ψψ− 12µ0 ∂µAν (∂µAν).(6.4)
DieseLagrangedichteistinvariantunterdengemeinsamenEichtransformationen(6.3)und(6.4).DieForderungnacheinerlokalenEichinvarianzdesDirac-FeldesführtaufdieKopplungandaselektromagnetischeFeld,denndasbishervorgestellteVorgehenmitdemErgebis(6.4)führtexaktaufdieLagrangedichte(4.4).
6.2Weiterentwicklung
6.2.1GrundlegenderGedanke
DieForderungnacheinerlokalenEichinvarianzisterfolgreichundführtaufdasbekannteErgebnisausderklassischenTheorie(minimaleAnkopplung).DochwasistmitFällen,indenenwirunsnichtaneinervorhandenenklassischenTheorieorientierenkönnen?EinVersuchwärees,weitere(kompliziertere)lokaleEichinvarianzenzufordern.
2015-02-1065 |GrundlagenderSRT
IneinemKoordinatensystem,indemmansichselbstnichtbewegt(dxi=0)gilt
c2dτ2=c2dt2,
DieVariableτhathierdieBedeutungderZeit.SiewirddaheralsEigenzeitbezeichnet.
IndiesenZusammenhangstelltsichdieFragenacheinersinnvollenDefinitioneinerGe-schwindigkeit.DiesesolltediefolgendenEigenschaftenerfüllen:
ñSiesollteeinVierervektorsein.
ñAbleitungenvonxµnachtkommennichtinFrage,diesesindkeineLorentzskalare.
ñEineAbleitungnachτistjedochmöglich:
uµ= ddτ xµ= ddτ ctr !
= c dtdτdrdt dtdτ != dtdτ c˙r !.(1.13a)
Mit
c2 dτdt 2(1.12)=c2−˙r 2=c2−v2,dτdt 2=1− vc 2,
=⇒ dtdτ =γ,(1.13b)
=⇒uµ=γ cv !.(1.13c)
DamitsindwirinderLage,einenViererimpulszuidentifizieren,
pµ=muµ=mγ cv != mγcp !.(1.14)
Hierbeihabenwirp=mγvfürdenräumlichenAnteilverwendet.BetrachtenwirnurdienullteKomponente,d.h.
p 0=mγc
p0c=mγc2= mc2q1− v2c2 ≈mc2+ mv22 +...
DieEntwicklungineineTaylorreihezeigt,dasswirdieRuheenergie,diekinetischeEnergieeinesTeilchensundrelativistischeKorrekturenerhalten.SomitergibtsicheinesinnvolleDefinitionderEnergie.Maninterpretiertentsprechend
p0= Ec (1.15)
42014-10-14
|FolgenderKorrektureninderQuantenelektrodynamik berücksichtigen.Auchdasgelingtmit(5.35)und(5.36b).InderQuantenelektrodynamiktritt nureineendlicheAnzahlanprimitivdivergentenGraphenauf.EinesolcheTheorienennt manrenormierbar.EsgibtjedochauchnichtrenormierbareTheorien,indenenjedeOrdnung neueDivergenzenhervorbringt.TretenineinergesamtenTheorienureineendlicheAnzahl divergenterGraphenauf,sonenntmansiesuperrenormierbar. 5.9FolgenderKorrektureninderQuantenelektrodynamik TrotzihrerproblematischenmathematischenBehandlungsinddieKorrekturtermewichtig undihreAuswertungimSinnvon(5.37)führtaufeinehervorragendeÜbereinstimmungmit Experimenten.WichtigeBeispielehierfürsinddieWechselwirkungeinesElektronsmiteinem äußerenMagnetfeld: DiekorrekteBerechnungerfordertaberauchKorrekturenderForm + worausdasanomalemagnetischeMomentdesElektronsbestimmtwerdenkann.MitTermen ausderOrdnungα2undα3lässtsichtheoretischbestimmen: g−2 2=0.0011596524(±4). BetrachtetmanähnlicheDiagrammefüreineWechselwirkungdesElektronsmitdemKern viaeinesCoulomb-Potentials,soerhältmandieLamb-Verschiebung. 642015-02-10
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1 mitderEnergieEeinerPunktmasse.Darausfolgt pµpµ=E2 c2−p2=m2γ2c2−v2 =m2c2. SomitsindwirinderLage,dierelativistischeEnergie-ImpulsBeziehunganzugeben: E2=m2c4+c2p2,(1.16a) E=q m2c4+c2p2.(1.16b) 1.2DieKlein-Gordon-Gleichung DieSchrödingergleichungkannausSichtderRelativitätstheorienichtkorrektsein,dennsie istnichtinvariantuntereinerLorentztransformation.Diesewurdegeradeausderklassischen Energie-Impuls-Beziehung E=p2 2m+V(r)=H(r,p)(1.17) unterVerwendungderJordanschenErsetzungsregeln E→i∂t, p→ i∇(1.18) motiviert. AufstelleneinerLorentz-invariantenquantenmechanischenGleichung: VerwendedieErsetzungsregeln(1.18)inderrelativistischenEnergie-ImpulsBeziehung(1.16a), abernicht(1.16b),dasonstdieWurzelauseinemDifferentialoperatorbenötigtwird(unend- lichhoheAbleitungen): −2∂2 tψ= m2c4−c2∇2 ψ(1.19) WirerhaltendieKlein-Gordon-Gleichung. DieseSchreibweiselässtsichnochvereinfachen 1 c2∂2 t−∇2 =∂2 ∂(ct)2−∂2 x−∂2 y−∂2 z =∂µ ηµν∂ν =∂µ∂µ(1.20) odermitdemD’Alembert-Operator ≡∂µ∂µ(1.21) 2014-10-145
Quantenelektrodynamik|5 Jetztführenwireinm=mr+∆m|{z}O(α) +O(α) 2,(5.33)
dannwirdderNennerinGleichung(5.32)zu
2πδ /q−−−+O(α).(5.34) 2rmrmc∆c3αmc
DieserTermdivergiertgenaudannnichtmehr,sofern
∆m=− 3αmr2πδ (5.35)
gilt.
AufähnlicheWeiseabsorbiertmandieDivergenzimZähler.Zubeachtengilt,dassdieinnerenLinienimmerzusammenmitVertizesundweiterendortverknüpftenLinienauftreten.DabeiistderVertexproportionalzurElementarladunge,welchewiederumaufgespaltenwerdenkannine=er+∆e.(5.36a)
DerZähleraus(5.32)divergiertgenaudannnicht,wenn
∆e= αer3πδ .(5.36b) DieseRenormierunggelingtkonsistentinderQuantenelektrodynamik,dasheißtinallendivergierendenTermenmitdenselbenWerten.EstreteninallenmessbarenGrößennurdierenormiertenMassenmrundLadungenerauf.DienacktenMassenmundLadungene,diewie∆mund∆edivergieren,sindnunreineRechengrößenohnephysikalischeRelevanz.IhrDivergierenspieltkeineRollefürdieTheorie.FürdiekonkreteRechnungverwendetmanüberallmrunderstattmundeundhatkeinedivergierendenTermemehr,alsozumBeispielS 0(2)F(q)= 1
r2πmc/q−1+rΣmcαR(q)(5.37)
stattdemdivergierendenIntegral(5.24b).
5.8.3Anmerkungen
BisherwurdenurdieRegularisierungundRenormierunginniedrigsterOrdnungbetrachtet,weiterhinmussmanGraphenderForm
oderoder...
2015-02-1063 |DieDirac-Gleichung
erhaltenwir
=⇒ "∂µ∂µ+ mc 2 #ψ=0(1.22a)
=⇒ "+ mc 2 #ψ=0.(1.22b)
DiesistdieeigentlicheDarstellungderKlein-Gordon-Gleichung.Siebesitztfolgendeuner-wünschteEigenschaften:
ñLösungistdasSkalarfeldψ.DieLösungenbeschreibeneinTeilchenohneSpin,d.h.wirerhaltenkeinegeeigneteGleichungzurBeschreibungeinesElektrons.
ñAlsLorentzskalaristdiesesψinvariantunterLorentztransformationen.
ñAndersalsinderQuantenmechanikgefordert,benötigtmanzweiAnfangsbedingungen,nämlichψ(r,t=0)=...,˙ψ(r,t=0)=...,
umdieZeitentwicklungberechnenzukönnen,d.h.estritteinWiderspruchzudenPostulatenderQuantenmechanikauf!
ñDieLösungenψkönnenaufnegativeWahrscheinlichkeitsdichtenführen.DiesistjedochproblematischfürdieInterpretationderWellenfunktion!
Energiespektren(freiesTeilchen)
DieKlein-Gordon-Gleichung(1.22b)besitztalsfreieLösungdieebenenWellen
ψ(r,t)=e i(Et−pr)(1.23a)
mit
E=± qp2c2+m2c4,(1.23b)
d.h.zujedemImpulspoderWellenvektork=p/gibtes,
ñeineLösungpositiverEnergie,
ñeineLösungnegativerEnergie.
InAbbildung2istdiesveranschaulicht.FürdieEnergiesindWertevonE→−∞möglich,d.h.esliegteinStabilitätsproblemvor!
1.3DieDirac-Gleichung
EinigeProblemederKlein-Gordon-Gleichunglassensichbeseitigen,wennmaneineDif-ferentialgleichungersterOrdnungfindet.Diesewurde1928vonP.Diracaufgestellt.DieForderungenandieseGleichungsind:
ñrelativistischeKovarianz,
ñnurAbleitungenersterOrdnungtretenauf,
62014-10-21
|IdeenskizzezurRegularisierungundRenormierung DerFaktorl4−dspiegelthierbeieineKorrekturderEinheitenwider.MitderUmrechnung 1 ab=Z1 0dz (az+b(z+1))2(5.28) wirddaraus Σ(2)(q)=−ie2µ0cl4−d (2π)dZ1 0dzZγα /q−/k+mc γαddk (q−k)µ(q−k)µz− mc 2 z+kµkµ(1+z)+iε2. (5.29) IneinigenRechenschrittenkannmanzeigen,dass Σ(2)(q)=−ie2µ0cl4−d (2π)dZ1 0dzZ ddkγα /q−/k+mc γα (q−k)µ(q−k)µz− mc 2 z+kµkµ(1+z)+iε2. (5.30a) ineinendivergierendenAnteil∝δ−1(fürd=4giltδ→0)undeinenregulären RΣ(q)=(1+ξ)/q 2−(1+2ξ)mc +Z1 0 (1−z)/q−2mc lnm2c2z−qµqµz(1−z)2 4πµ2 02
! dz(5.30b) zerfällt.DabeiistξeineIntegrationskonstante. 5.8.2KonvergenteMatrixelementedurchRenormierung DerersteSchrittinderBeseitigungderDivergenzenbestehtdarin,(5.24a)umzuschreiben ˜S0(2) F=˜SF(q)+˜SF(q)Σ(2)(q)˜SF(q)≈1 ˜S−1 F(q)−Σ(2)(q).(5.31) TatsächlichistdiesbisaufTermederOrdnungO Σ(2)(q)2 identischmit(5.24a) 1 ˜S−1 F(q)−Σ(2)(q)=˜SF(q)+˜SF(q)Σ(2)(q)˜SF(q)+˜SF(q)Σ(2)(q)˜SF(q)Σ(2)(q)˜SF(q)+... +++... undenthältinkonsequenterReihenfolgeallehöherenBeiträgevonKorrekturendesselben Typs. ˜S0(2) F(q)(5.31) = (??)1 /q−mc −α 2π 4mc −/q δ+RΣ(q) ≈1−α 2πδ /q−mc 1+3α 2πδ+α 2π+RΣ(q) mc+Oα2 (5.32) 622015-02-03
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1 E +mc2 −mc2
kontinuierlichesSpektrum BeispielefürEnergieniveausgebun- denerZustände
Gültigkeitsbereich derSchrödin- gergleichung ñ2Energiespektrum:LösungderKlein-Gordon-GleichungimFalleinesfreienTeilchens. ñdieLösungenψderneuenGleichungmüssenauchdieKlein-Gordon-Gleichungerfüllen, ñdieGleichungmusseinepositivdefiniteWahrscheinlichkeitsdichteergeben. Bemerkung:HierwirdeineArgumentationzumAufstellenderDirac-Gleichungaufgeführt, wiesieetwaimAnhangdesLehrbuchesvonF.Schwabl(sieheLiteraturverzeichnis)zufinden ist.SieentsprichtnichtdemüblichenWeg,deraberbereitsBestandteilderKursvorlesungen ist.Ç AusgangspunktderArgumentationseidasfreieTeilcheninderSchrödingergleichung H=p2 2m,(1.24) wobeiwirdieRelation (σ·a)(σ·b)=a·b+iσ(a×b)(1.25) zumUmschreibendesHamiltonoperatorsverwenden.DerVektorσbesitztdiePauli-Matrizen alsEinträge,d.h. σ= σx σy σz
. Mankanndannschreiben H=(σ·p)(σ·p) 2m
(1.25) =p2 2m+iσ(p×p) |{z} =0
1 2m=p2 2m.(1.26) NachdemPrinzipderminimalenAnkopplungerfolgtdieErsetzung p→p−eA, H→H+eφ(1.27) 2014-10-217
Quantenelektrodynamik|5
ñPauli-Villars-Regularisierung:TermemitderselbendivergierendenAsymptotikwerdenabgezogen.BetrachtenwirzumBeispieldieSelbstenergiedesElektrons
+
˜SF(q)+˜SF(q)Σ(2)(q)˜SF(q)=˜S 0(2)F(q)(5.24a) mitΣ(2)(q)=i e2
Zd4k(2π)4 ˜DFαβ(k)γα˜SF(q−k)γβ,(5.24b) wobeifürdenPhtonenpropagator˜DFαβ(k)∝ 1kµkµ+iεgilt.Dieswirdnunersetztdurch
1kµkµ+iε → 1kµkµ+iε − 1kµkµ+KµKµ+iε
mitgroßenaberendlichenK.Esgiltdannfürkleinek→0,dassdersubtrahierteTermunbedeutendwirdundfürgroßek→∞gehtdieDifferenzgegen0,womitdieDivergenzaufgehobenist.
ñDimensionsmäßigeRegularisierung:DerUrsprungderDivergenzistdiePotenzind4k.AlsAnsatzwirdnundasIntegralinderDimension
d=4+δ(5.25)
ausgewertet.DerTermin(5.24b)lautetexplizit
Σ(2)(q)= −ie2µ0cηαβ(2π)4 Zd4k γα /q
−/k+ mc γβ
(kµkµ+iε)(q−k)µ(q−k)µ− mc 2+iε (5.26a)
oderindDimensionen
Σ(2)(q)= −ie2µ0cl4−d(2π)d Zddk γα /q
−/k+ mc γα
(kµkµ+iε)(q−k)µ(q−k)µ− mc 2+iε .(5.26b)
DerFaktorl4−dspiegelthierbeieineKorrekturderEinheitenwider.MitderUmrechnung Σ(2)(q)= −ie2µ0cηαβ(2π)4 Zd4k γα /q
−/k+ mc γβ
(kµkµ+iε) (q−k)µ(q−k)µ− mc 2+iε (5.27a)
oderindDimensionen
Σ(2)(q)= −ie2µ0cl4−d(2π)d Zddk γα /q
−/k+ mc γα
(kµkµ+iε) (q−k)µ(q−k)µ− mc 2+iε .(5.27b)
2015-02-0361 |DieDirac-Gleichung
füreingeladenesTeilchenimelektromagnetischenFeld.ImgeradegefundenenAnsatzergibtsichdamit
H= 12m [σ·(p−eA)][σ·(p−eA)]+eφ
(1.25)= 12m (p−eA)2+ i2m σ[(p−eA)×(p−eA)]+eφ
= 12m (p−eA)2− e2m σ·B+eφ.(1.28)
DiesistdiePauli-Gleichung,sieentsprichtdemnichtrelativistischenGrenzfallderDirac-Gleichung.
ÄhnlichlässtsichdierelativistischeEnergie-Impuls-Beziehungbehandeln.Ec −σ·p Ec +σ·p = E2c2−(σ·p)(σ·p)
(1.25)= E2c2−p2(1.16a)=m2c2. MitdenJordanschenErsetzungsregelnerhältmanic ∂t+σ·i∇ ic ∂t−σ·i∇ ϕ|{z}−ϕ1|{z}=−mcϕ2 =m2c2ϕ|{z}−ϕ1 .(1.29)
MitdenbeidenzweikomponentigenSpinorenϕ1undϕ2erhaltenwirzweigekoppelteDifferentialgleichungenersterOrdnung,
i ∂∂(ct) −σ·∇ ϕ1=mcϕ2,(1.30a) i ∂∂(ct) +σ·∇ ϕ2=mcϕ1.(1.30b) MitderSchreibweiseσ·∇=σi∂iund∂/∂(ct)=∂0folgtfür(1.30b)−(1.30a)und−(1.30b)−(1.30a)
i h∂0(ϕ2−ϕ1)+σi∂i(ϕ2+ϕ1) i=.mc(ϕ2−ϕ1),(1.31a)
−i h∂0(ϕ2+ϕ1)+σi∂i(ϕ2−ϕ1) i=−mc(ϕ2+ϕ1).(1.31b)
MitdemVierer-Spinor
ψ= ϕ2−ϕ1ϕ2+ϕ1 !(1.32)
ergibtsich
i " 100−1 !∂0+ 0σi−σi0 !∂i− mci #ψ=0(1.33) oderiγµ∂µ− mc ψ=0
82014-10-21
|IdeenskizzezurRegularisierungundRenormierung 5.7.3VerbleibendedivergenteTerme NebendenVakuumblasen,dieindenÜbergangsamplitudennureinenirrelevantenPhasen- faktorliefern,müssendreiprimitiv-divergenteGraphenbetrachtetwerden,derenDivergenz nichtinirgendeinerFormkompensiertwerdenkann. ñSelbstenergiedesElektrons/PositronsD=1 ñSelbstenergiePhotonsD=2 ñVertexkorrekturD=0 AlledivergierendenDiagrammehöhererOrdnungenthaltendieseGraphen. 5.8IdeenskizzezurRegularisierungundRenormierung DieDivergenzenkönneneingrundlegendesScheiternderTheoriebedeuten.Esgibtjedoch eineMöglichkeitsosozubehandeln,dasssicheinkonsistentesErgebnisableitenlässt,das inhervorragenderÜbereinstimmungmitdemExperimentist.DieGrundlegendeIdeebesteht darin,dassalleDivergenzeninprinzipiellnichtmessbareKonstantenverschobenwerden. DieshatzurFolge,dassdieWirkungsquerschnittetheoretischberechenbarbleiben. 5.8.1AnsätzezurRegularisierung DieRegularisierungenthältdenSchritt,dieDivergenzenvonregulärenAnteilenderIntegrale inadditiveTermeabzuspalten.DabeigibteszweiAnsätze: 602015-02-03
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1 mit γ0=10 0−1! ,(1.34a) γi=0σi −σi0! .(1.34b) DiesistdieDirac-GleichungfüreinfreiesTeilchen.EineandereSchreibweiseist i∂tψ= c iαk∂k+βmc2 ψ(1.35a) mit β=10 0−1! , αi=βγi=0σi σi0! .(1.35b) EinebesonderskompakteSchreibweiseergibtsichunterVerwendungdesFeynman-Dagger Symbols
0γµ/∂=γ∂=∂+γ∇µt c µ0i/ˆp=γˆp=γˆp+γˆp.µ0i Damitfolgtalso /ˆp−mcψ(r,t)=0,(1.36) mc /∂i−ψ(r,t)=0.(1.37) 1.3.1Kontinuitätsgleichung †∗∗∗∗MultipliziereGleichung(1.35a)vonLinksmitψ=ψ,ψ,ψ,ψ1234 c††k2†iψ∂ψ=ψα∂ψ+mcψβψ(1.38a)tk i Diedazukonjugiert-komplexeRelationist: †∂ψc††i2†−iψ=−∂ψαψ+mcψβψ.(1.38b)i ∂ti Betrachte(1.38b)−(1.38a) 2†imc††i†i†††∂ψψ=−c(∂ψ)αψ+cψα∂ψ+ψβψ−ψβψ.(1.39)tii 2014-10-219
Quantenelektrodynamik|5
k γµγν
k q2=k−q1
q1
WirfindenmitdenFeynman-RegelnundderAuswertungallersofortlösbarenIntegrale
S (2)SP=− e2(2π)42 Zd4k(2π)4|{z}innerePhotonenlinien
i ˜
DFαµ(k) Ztr hγµ˜SF(q)γν˜SF(q−k) i
|{z}Spurim4-dimSpinorraum d4q
i ˜
DFνβ.(5.22)
FürgroßeWertedesImpulsesqlieferndieFeynman-PropagatoreneineAbhängigkeit˜SF(q)∝ 1|q|undd4q∝|q|4,somitdivergiertderIntegrandquadratisch,dieswirdauchUltraviolettdivergenzgenannt,dahoheFrequenzennotwendigfürdieDivergenzsind.Tat-sächlichfindetmaninderQuantenelelektrodynamikunendlichvieledivergierendeTerme,diesichaberaufendlichvieleprimitiv-divergentereduzierenlassen,ausdenenalleweiterenzusammengesetztwerden.DurcheinfachesAbzählenderPotenzenderPropagatorensowieausderKenntnisderZahlderLinienandenVertizeslässtsichfolgendeRegelableiten:
D=4−3 Fa2 −Pa.(5.23)
DabeiistDderDivergenzgrad,dereinelogarithmischeDivergenzfürdenFallD=0beschreibt,wohingegenD=n>0diePotenzderDivergenzangibt,FaistdieAnzahlderäußerenFermionenlinienundPadieAnzahlderäußerenPhotonenlinien.
5.7.2ProblemlosesBeispiel:Photon-Photon-Streuung
ñzweieinlaufendePhotonen
ñzweiauslaufendePhotonen
ñPhotonenstreuenanPhotonen Im
GegensatzzurklassischenElektrodynamik(Superpositionsprinzip)gibtesdiePhoton-Photon-StreuunginderQuantenelektrodynamik.Nach(5.23)ergibtsichfürdiePhoton-PhotonStreuungeinenDivergenzgradvonD=0,waseinelogarithmischeDivergenzbedeutet.Tat-sächlichsindesjedochinnereSymmetrien(hierdieEichinvarianzderElektrodynamik),diedazuführen,dasssichdivergierendeTeilintegralegegenseitigaufheben.DamitkonvergiertdiePhoton-PhotonStreuung.ExperimentellwurdedieseArtderLichtstreuungnochnichtnachgewiesen,daderEffektstarkunterdrücktist(4innereFermionlinienwerdenbenötigt).
2015-02-0359 |DieDirac-Gleichung
Hierbeigilt
β†=β(1.40a)
αi†=αi(1.40b)%=ψ†ψ(1.40c)j0=c%(1.40d)jk=cψ†αkψ(1.40e)
undesfolgt
∂µj µ=0.(1.40f)
DiesentsprichteinerKontinuitätsgleichungfürdiepositivdefiniteDichte%!
1.3.2RuhendeTeilchen
DieDirac-GleichungfürdasruhendeTeilchen,also
p=k=0(1.41)
lautet
i∂tψ(r,t)=mc2γ0ψ(r,t)
=mc2100−1 ! ψ1ψ2ψ3ψ4 .(1.42)
DiesehatvierLösungen
ψ (+)1=e−imc2t 1000 ,
ψ (−)1=eimc2t 0010 , ψ (+)2=e−imc2t 0100 ,
ψ (−)2=eimc2t 0001 . (1.44)
WirerhaltenalsojeweilszweientarteteZuständepositiverundnegativerEnergie.AufdieenergetischentartetenKomponenten(+)oder(−)wirkenin(1.33)geradediePauli-Spinmatrizen,diesentsprichtdenbeidenEinstellungendesSpin1/2.
Folge:DieDirac-GleichungbeschreibtoffensichtlichSpin-1/2-Teilchen,kannalsodiegesuch-terelativistischeGleichungfürElektronensein.Ç
Aber:EsgibtauchdieZuständenegativerEnergie!Ç
102014-10-28
|KorrekturenhöhererOrdnung wobeiderTeilchenstromzumBeispieldurchdasDirac-Feldbeschriebenwerdenkann, jα ein=hˆjα eini.(5.20) Dabeiverwendetman(3.49a)sowiedieÜbergangsrate d˙Wp→d3Fp0=˙wp→p0FY n=1dN(p0 n)(5.21a) imImpulsraumfürFTeilchen,wobeigilt ˙wp→p0=lim τ→∞Sfi2 τ.(5.21b) 5.7KorrekturenhöhererOrdnung FürdiekorrektenÜbergangsratensindin(5.21b)alleZuständezuverwenden,welchedenrich- tigenAnfangszustand|iimitdemrichtigenEndzustand|fiverknüpfen,alsodenpassenden Übergangenthalten.NehmenwiralsBeispieldieElektron-Elektron-Streuung: Diesehatin4.OrdnungzusätlicheBeiträge,zumBeispiel ++ DieseliefernKorrekturenvonderGrößenordnungα·S(2)≈
1 137
·S(2). 5.7.1Divergenzen BeidenKorrekturentritteineSchwierigkeitderTheorieauf.Betrachtenwirdenzweiten TermausdemBeispielmitderSelbstenergiedesPhotons: 582015-01-27
KurzeEinführungindierelativistischeQuantenmechanik|1 E 0 γ ñ3EinangeregterZustandentstehtdurchanhebeneinesTeilchensausdemDirac-Seeinden positivenEnergiebereich. 1.3.3BedeutungderZuständenegativerEnergie DieZuständepositiverEnergiebeschreibendiegewünschtenSpin-1/2-Teilchen.Dochdie ZuständenegativerEnergienlassensichnichtignorieren,dennsobalddieTeilchennicht mehrruhen,gibtesKopplungenzwischendenLösungenpositiverundnegativerEnergie. Zudembesteht–wieinderKlein-Gordon-Gleichung–dasProblemdesunbeschränkten negativenEnergiespektrums,waskeinenstabilenGrundzustandzurFolgehätte. a)VorschlagvonDirac:AlleZuständenegativerEnergiensindbesetzt.DaessichumSpin- 1/2-Teilchen,alsoumFermionenhandelt,könnenkeineZerfälleindieseZuständestattfinden. DerVakuumszustandistdanneinDirac-SeebestehendausTeilchenmitnegativerEnergie. UmeinenangeregtenZustandzuerhalten,wirdeinTeilchenausdemDirac-See(negative Energie)indenBereichpositiverEnergieangehoben(vgl.Abbildung3).DerbesetzteZustand positiverEnergieentsprichtdanneinemElektron,diefehlendeBesetzungeinesZustandes negativerEnergie(Loch)isteinPositron(Antiteilchen).DieserÜbergangineinenangeregten ZustandwirdauchPaarbildunggenannt. EszeigensichjedochProblemedieserInterpretation.DerGrundzustandbesitztweiterhin dieEnergieE=−∞.ZudemgibtesProblememitderUnschärferelation.Gehenwirdavon aus,dasseingutlokalisiertesTeilchendurcheineOrtsmessunggegebenist, ∆x< 4mc,(1.45) dannerhältmanfürdieImpulsunschärfe ∆p≥2mc,(1.46) wasaufeineEnergieunschärfevon∆E≈c∆p>2mc2führtundsomitgenügendEnergie aufbringt,einePaarbildungstattfindenzulassen.DasBilddesDirac-Seesistzudemnurfür FermionenundnichtfürBosonengeeignet.AußerdemzeigensichAsymmetrienzwischen PositronenundElektronen. 2014-10-2811
Quantenelektrodynamik|5
DasProduktdieserdreiTermeliefertdieStreuamplitude
S (2)direkt=i 1(2π)2 (mc2)2e2µ0c qEk1Ek01Ek2Ek02 ηαβu(k 01,s01)γαu(k1,s1)u(k 02,s02)γβu(k2,s2)
× Zd 4kp δ(4)(k 01+kp−k1)δ(4)(k 02−kp−k2)kpµk µp+iε
= ie2m2c5µ0ηαβu(k 01,s01)γαu(k1,s1)u(k 02,s02)γβu(k2,s2)(2π)2 qEk1Ek01Ek2Ek02(k1µ−k 01µ)(k µ1−k 0µ1) δ(4)(k01+k02−k1−k2)
(5.18)
HierwurdenureinesderbeidenDiagrammederdirektenStreuungberechnet.Dasandereunterscheidetsichnurdurchkp→−kpundführtaufdasselbeErgebnis.TatsächlichsindbeideFällebereitsindenFeynman-Regelnenthalten.DiebeidenDiagrammesindtopologischäquivalent,nureineswirdberechnet.DieZahlenfaktorenindenFeynman-Regelnsinddaraufangepasst.InjederOrdnungnkommenn!identischeTermevor,diesichmitdemFaktor 1n!derReihenentwicklung(4.23)aufheben.
DurchdieErhaltungdesViererimpulsesandenVertizeshatdasPhotoneineneindeutigenViererimpuls.DiesererfülltabernichtdieDispersionsrelationω=c|k|,eshandeltsichhierbeiumsogennantevirtuellePhotonen.TretenzweiinnereLinienauf,soistderImpulsderzugehörigenTeilchennichtfestgelegt,dadieViererimpulsederVertizesaufbeideaufgeteiltwerdenkönnen.
k−k 0 k 0
k k
DerTermderAustauschstreuungunterscheidetsichinzweiPunktenvon(5.18):
ñderVertauschung(k 02,s02)↔(k 01,s01),
ñeinemzusätzlichenMinuszeichendurcheinezusätzlichbenötigtePermutationderfermionischenFeldoperatoren.
5.6Wirkungsquerschnitte
BeobachtbarimExperimentsindWirkungsquerschnitte,alsodieRateeinesÜbergangseinesdurchdieFlächedσeinfallendenTeilchenstromsjeinineinRaumwinkelelementdΩ.DerdifferentielleWirkungsquerschnittistdefiniertdurch
dσdΩ = 1|jein| d˙Wp→d3Fp0dΩ ,(5.19)
2015-01-2757 |DieDirac-Gleichung
b)Feynman-Stückelberg-Interpretation:DieLösungenderDirac-GleichungfüreinTeil-chenmitImpulssindvonderFormψ+=ψ0e−ikµxµ,ψ−=ψ0eikµxµ.(1.47)
UmschreibenderLösungnegativerEnergieführtaufeineExponentialfunktionderForm
ψ−=ψ0eikµxµ=ψ0e−ikµ(−xµ)(1.48)
DamitbesitzendieAntiteilchenauchpositiveEnergien,bewegensichaberimgespiegeltenRaum(r→−r)rückwärtsinderZeit(t→−t).DieseInterpretationlieferteinigeVorteile:
ñkeinenegativenEnergien,
ñkeinProblemmitderUnschärferelation,
ñfunktioniertfürBosonenundFermionen.
Dennochistsienichtintuitivundnurschwergedanklichnachzuverfolgen.
1.3.4ImelektromagnetischenFeld
MitdemViererpotential
Aµ= φ/c−Ax−Ay−Az (1.49)
lautetdieDirac-Gleichungγµ(i∂µ−eAµ)− mc ψ=0
oder i/∂−e/A− mc ψ=0. (1.50)
MitdieserGleichungistdierelativistischeBeschreibungdesWasserstoffatomsmöglich.ImMomenttretendieFelderalsklassischeGrößenauf,esistjedochmöglichunderforderlich(Photoeffekt),dieFelderzuquantisieren.Quantisierenwirjedochdieelektrischenundma-gnetischenFelderin(1.50),sowerdenzweiSichtweisenderQuantenmechanikvermischt.
ñElektrodynamik:QuantisierungeinesFeldes,höhereAnregungbedeutethöhereTeil-chenzahl(Photonen).
ñMaterie:QuantisierungvonPunktteilchen,jedesTeilchenbenötigteineWellenfunktionundeineeigeneodergekoppelteDirac-Gleichung.
DieDirac-GleichunglässtimAllgemeineneinigeWünscheoffen.ZumeinenmüssennegativeEnergieninterpretiertwerden,zumanderenwäreeineeinheitlicheTheoriefürdieMaterieundihreWechselwirkungenhilfreich.DieseeinheitlicheTheoriesollte,wennmöglich,auchdiePostulatederQuantenmechanik,nämlich
ñSymmetrisierung/AntisymmetrisierungderWellenfunktionfürBosonen/Fermionen
ñForderungnacheinerNormierungderWellenfunktionfüreineTeilchenzahl
aufeinenfestenGrundstellen.EswirddahernotwendigQuantenfeldtheorienaufzustellen.
122014-10-28
