Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 1
Aufgabe 1. Gegeben seien folgende Aussagen:
A: Es ist kalt.
B: Es schneit.
Drücken Sie die nachfolgenden Sätze als aussagenlogische Formeln mit Hilfe der VariablenA undBaus.
(a) Es ist kalt, aber es schneit nicht.
(b) Es ist nicht kalt und es schneit nicht.
(c) Es schneit oder es ist kalt (oder beides).
(d) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber nicht beides.
(e) Wenn es schneit, ist es kalt.
(f) Es schneit nicht, wenn es nicht kalt ist.
(g) Es schneit oder es ist kalt, aber es schneit nicht, wenn es kalt ist.
Aufgabe 2. Beweisen Sie:¬(A⇒B)≡A∧ ¬B.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass
¬A∧(¬B⇒A)⇒B eine Tautologie ist,
(a) indem Sie die Wahrheitstafel angeben.
(b) indem Sie die Rechenregeln der Aussagenlogik verwenden.
Aufgabe 4(Das Lügner-Paradoxon). Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Sind sie wahr oder falsch?
(a) Ich lüge immer.
(b) Ich lüge jetzt gerade.
(c) Ich lüge nie.
Aufgabe 5. Auf einer Insel gibt es zwei Arten von Menschen:
Ritter: sagen immer die Wahrheit.
Schurken: lügen immer.
(a) Sie treffen zwei Inselbewohner A und B. Inselbewohner A sagt: “Wenn ich ein Ritter bin, so ist B auch einer.” Welchem Typ gehören A und B an?
(b) Drei Inselbewohner A,B und C machen folgende Aussagen:
A: “B und C sind Ritter.”
B: “A ist ein Schurke und C ist ein Ritter.”
Welchem Typ gehören A,B und C an?
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Aufgabe 6. Verneinen Sie die folgenden Redewendungen und Sprichwörter:
(a) Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
(b) Marmor, Stein und Eisen bricht, aber Omas Plätzchen nicht!
(c) Für jeden Topf gibt es einen passenden Deckel.
(d) Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt, wie es ist.
(e) Entweder regnet es in Münster, oder es läuten die Glocken; und geschieht beides gleichzei- tig, so ist Sonntag.
Aufgabe 7. SeiL(x, y) die Aussageform “x liebtz”. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die natürliche Sprache.
(a) ∀x∀y:L(x, y) (b) ∃x∀y:¬L(x, y)
(c) ∃x∃y:L(x, y)∧L(y, x) (d) ∀x∃y:L(x, y)∧ ¬L(y, x)
(e) ∀x:L(x, x)∧ ∀y: (y,x⇒ ¬L(x, y))
Aufgabe 8. Drücken Sie die folgenden Sätze mit Hilfe der logischen Symbole aus und überle- gen Sie, ob die Sätze wahr oder falsch sind.
(a) Die Gleichungx2+x+ 1 = 0 ist lösbar in den reellen Zahlen.
(b) Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Primzahl.1
(c) Es gibt eine natürliche Zahl, die alle natürlichen Zahlen ungleich 0 teilt.2 (d) Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
(e) Die Menge (0,1) hat ein größtes Element.3
1Die Menge aller Primzahlen wird üblicherweise mitPbezeichnet.
2Die natürlichen Zahlen ungleich 0 werden mitN\ {0}bezeichnet. Teilbarkeit kann man formal wie folgt aus- drücken: Man schreibtn|mfür “nteiltm”.
3(0,1) :={x∈R|0< x <1}ist die Menge aller reellen Zahlenxmit 0< x <1.)
