Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante B) Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 1

Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante B)

Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 1

Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgende Behauptung:

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar.

(a) Untersuchen Sie die Vermutung anhand von Beispielen. Ist sie wahr oder falsch?

(b) Begründen Sie die Behauptung unter Zuhilfenahme der figurierten Zahlen. Beispielsweise können Sie die Zahlenbalken des Polypad auf Mathigon (https://mathigon.org/polypad) nutzen.

Lösung.

(a) Durch Ausprobieren erkennt man: Die Behauptung ist wahr.

(b) Wir veranschaulichen die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen mithilfe von Zah- lenbalken (hier am Beispiel 6 + 7 + 8 = 21):

Wenn man beim längsten Balken ein Kästchen entfernt und dieses beim kürzesten Bal- ken hinzufügt, so erhält man drei gleichlange Balken. Damit ist die Anzahl Kästchen ein Vielfaches der 3.

Am Beispiel: 6 + 7 + 8 = 21 = 3·7. Allgemein gilt

n+ (n+ 1) + (n+ 2) = 3n+ 3 = 3(n+ 1)

und damit ist die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen durch 3 teilbar.

Aufgabe 2. Die ersten vierzentrierten Penatagonalzahlenp₁, . . . , p₄ sind unten dargestellt. Fin- den Sie eine explizite und eine rekursive Darstellung vonp_n.

Lösung. Für die explizite Darstellung gibt es mehrere Möglichkeiten:

2

1. Lösung: Es gilt

p_n= 5d_n−1+ 1 = 5(n−1)n

2 +2

2=5n²−5n+ 2

2 .

2. Lösung: Es gilt

p_n=d_n+ 2d_n−1+ (n−1)²=n(n+ 1)

2 + 2(n−1)n

2 +2(n−1)² 2

=n²+n+ 2n²−2n+ 2n²−4n+ 2 2

=5n²−5n+ 2

2 .

Für die rekursive Darstellung erkennt man, dass jeweils die blauen Kugeln hinzukommen. Dies sind im Übergang vonnzun+ 1 genau 5nKugeln. Also erhalten wir die Rekursion

p₁= 1 p_n+1=p_n+ 5n.

Alternativ rechnet man setzt man die explizite Darstellung fürp_n+1ein:

p_n+1=5(n+ 1)²−5(n+ 1) + 2

2 =5n²+ 10n+ 5−5n−5 + 2

2 = 5n²−5n+ 2

2 +10n

2 =p_n+ 5n.

Aufgabe 3. Die ersten vierKartenhauszahlen(auf Englisch „house of cards numbers“)k₁, . . . , k₄ sind unten abgebildet. Finden Sie eine explizite und eine rekursive Darstellung vonk_n.

Lösung. Für die explizite Darstellung zeichnet man Dreieckszahlen ein:

Man erkennt

k_n= 2d_n+d_n−1= 2n(n+ 1)

2 +(n−1)n

2 =2n²+ 2n+n²−n

2 =3n²+n 2 .

3

Für die rekursive Darstellung erhält man k₁= 1

k_n+1=k_n+ 2(n+ 1) +n=k_n+ (3n+ 2).

Aufgabe 4. Beweisen Sie die Formel 1 + 3 +. . .+ (2n−1) = n² über die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, indem Sie die Anzahl Kästchen unten auf zwei Weisen abzählen.

Lösung. Wir zählen die Anzahl Kästchen auf zwei Weisen ab:

1. Abzählung: Es handelt sich um ein Quadrat mit Seitenlänge 2n(da die längsten Balken jeweils Länge 2n−1 haben). Also sind es (2n)²= 4n²Kästchen.

2. Abzählung: Es handelt sich um vier Treppen/Dreiecke mit jeweils 1 + 3 +. . .+ (2n−1) Kästchen. Also sind es 4(1 + 3 +. . .+ (2n−1)) Kästchen.

Nach dem Prinzip des doppelten Abzählens gilt

4(1 + 3 +. . .+ (2n−1)) = 4n²⇒1 + 3 +. . .+ (2n−1) =n².

Aufgabe 5. Welche Formel ist unten dargestellt? Beweisen Sie die Formel mithilfe der Skizze und mithilfe von Termumformungen.

Lösung. Es handelt sich um die erste binomische Formel. Wenn man die FlächeFdes Quadrats auf zwei Weisen abzählt erhält man:

1. Darstellung: Insgesamt ist die Seitenlängea+b. Also giltF= (a+b)².

2. Darstellung: Man erhält (einzeichnen!) ein Quadrat mit Seitenlängea, zwei Rechtecke mit Seitenaundbund ein Quadrat mit Seitenlängeb. Also giltF=a²+ 2ab+b². Da beide Darstellungen dieselbe FlächeF darstellen, folgt

(a+b)²=a²+ 2ab+b².