Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 2
Aufgabe 1. Beweisen Sie, indem Sie verschiedene Beweismethoden verwenden.
(a) Wenn zwei Zahlena, b∈Zungerade sind, so ista·bungerade.
(b) Fallsabfüra, b∈Zungerade ist, so sindaundbungerade.
(c) Es gibt keine Zahlena, b∈Zmit 4a+ 6b= 11.
Lösung.
(a) Seiena, b∈Zungerade. Dann gibt esk, l∈Zmita= 2k+ 1 undb= 2l+ 1. Also gilt a·b= (2k+ 1)·(2l+ 1) = 4kl+ 2k+ 2l+ 1 = 2(2kl+k+l) + 1.
Da 2kl+k+l∈Z, istabungerade.
(b) Wir machen einen Kontrapositionsbeweis. Wir nehmen also an, dassaoderbnicht unge- rade ist, d.h.aist gerade oderbist gerade. Es gibt also 2 Fälle:
1. Fall: aist gerade. Dann gibt es eink∈Zmita= 2k. Somit giltab= 2kb= 2(kb). Also istabgerade.
2. Fall: bist gerade. Dann gibt es eink∈Zmitb= 2k. Somit giltab=a·2k= 2(ak) und damit istabgerade.
In beiden Fällen folgt also, dassabnicht ungerade ist.
(c) Wir machen einen Widerspruchsbeweis. Dazu nehmen wir an, dass esa, b ∈ Z gibt mit 4a+ 6b= 11. Also folgt
2(2a+ 3b) = 2·5 + 1.
Diese Zahl ist damit gleichzeitig gerade und ungerade, ein Widerspruch.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann.
Lösung. Wir machen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass∆ABCein gleichschenklig- rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängena, b, c∈Zist, wobeicdie Hypothenuse ist. Da∆ABC gleichschenklig ist, folgta=bund aus dem Satz des Pythagoras folgt
2a2=a2+b2=c2. Damit folgt aber, dass 2 = ca22 und somit
√
2 = ca eine rationale Zahl ist, ein Widerspruch.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden (Un)Gleichungen durch Fallun- terscheidung:
(a) |3x+ 2| ≥6 (b) |x−1| −2|x|=−3 Lösung.
(a) Wir machen eine Fallunterscheidung:
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1. Fall: 3x+ 2≥0. Dann gilt
3x+ 2≥6⇐⇒3x≥4⇐⇒x≥ 4
3⇐⇒x∈[43,∞).
Probe:Fürx∈[43,∞) gilt offensichtlich 3x+ 2≥0.
2. Fall: 3x+ 2<0. Dann gilt
−(3x+ 2)≥6⇐⇒ −3x−2≥6
⇐⇒ −3x≥8
⇐⇒3x≤ −8
⇐⇒x≤ −8 3
⇐⇒x∈(−∞,−8
3] Probe:Fürx∈(−∞,−8
3] gilt offensichtlich 3x+ 2<0.
Also ist die Lösungsmenge von|3x+ 2| ≥6 gegeben durch (−∞,−8
3]∪[43,∞).
(b) Wir haben 4 Fälle:
1. Fall: x−1≥0 undx≥0. Dann gilt|x−1| −2|x|= (x−1)−2x=−x−1 und
−x−1 =−3⇐⇒ −x=−2⇐⇒x= 2.
Probe:Fürx= 2 gilt offensichtlichx−1≥0 undx≥0.
2. Fall: x−1≥0 undx <0. Dieser Fall ist unmöglich und hat somit keine Lösungen.
3. Fall: x−1<0 undx≥0. Dann gilt|x−1| −2|x|=−(x−1)−2x=−3x+ 1 und
−3x+ 1 =−3⇐⇒ −3x=−4⇐⇒x=4 3. Probe:Fürx=43 giltx−1≥0, also ist 43keine Lösung.
4. Fall: x−1<0 undx <0. Dann gilt|x−1| −2|x|=−(x−1)−2(−x) =−x+ 1 + 2x=x+ 1 und x+ 1 =−3⇐⇒x=−4.
Probe:Fürx=−4 gilt offensichtlichx−1<0 undx <0.
Also ist die Lösungsmenge von|x−1| −2|x|=−3 gegeben durch{−4,2}.
Aufgabe 4. Stimmt es, dassn2+n+ 41 für jede Zahln∈Neine Primzahl ist? Beweisen Sie oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Lösung. Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel liefertn= 41; denn fürn= 41 gilt n2+n+ 41 = 412+ 2·41 = 41(41 + 2) = 41·43,
was offensichtlich keine Primzahl ist.
Aufgabe 5. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Für allex∈Rgilt
√ x2=x.
(b) Für allex∈Rmitx≥0 gilt (√
x)2=x.
(c) Für allea, b∈Rmita, b≥0 gilt 2ab = (2a)b. (d) Für allex, y∈Rgilt|x+y|=|x|+|y|.
(e) Für allex∈Rgilt| |x| |=|x|.
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Lösung.
(a) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Fürx=−1 giltp
(−1)2= 1,−1.
(b) Die Aussage ist wahr, denn fürx≥0 gilt (√
x)2= (x12)2=x1=x.
(c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Füra= 2 undb= 3 gilt 2ab = 223= 28= 256,64 = 26= (22)3. (d) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Fürx= 1 undy=−1 gilt
|x+y|=|1 + (−1)|=|0|= 0,2 =|1|+| −1|=|x|+|y|. (e) Die Aussage ist wahr, denn für jedesx∈Rgilt|x| ≥0 und somit||x||=|x|.
Aufgabe 6. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25×25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate auf- einander liegen. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.
Lösung. Nehmen wir an, kein Quadrat liege auf der Diagonalen. Dann betrachten wir das erste Quadrat. Wegen der Symmetrie muss auf der anderen Seite der Diagonalen auch ein Quadrat liegen. Somit sind die Quadrate paarweise verteilt. Dies ist aber nicht möglich, da 25 eine ungerade Zahl ist. Also muss ein Quadrat auf der Diagonalen liegen.
Aufgabe 7. DasMaximumzweier Zahlenx, y∈Rwird definiert als
max(x, y) :=
x x≥y, y x < y.
(a) Beweisen Sie: Für allex, y∈Rgilt max(x, y) = x+y+2|x−y|.
(b) Definieren Sie das Minimum min(x, y) zweier Zahlenx, y∈Rund finden Sie eine entspre- chende Formel wie in (a).
Lösung.
(a) Seienx, y∈R. Wir machen eine Fallunterscheidung.
1. Fall: x≥y. Dann gilt|x−y|=x−yund somit x+y+|x−y|
2 =x+y+x−y
2 =2x
2 =x= max(x, y).
1. Fall: x < y. Dann gilt|x−y|=−(x−y) =y−xund somit x+y+|x−y|
2 =x+y+y−x
2 = 2y
2 =y= max(x, y).
(b) Das Minimum zweier Zahlenx, y∈Rist definiert als
min(x, y) :=
y x≥y, x x < y.
und die entsprechende Formel ist min(x, y) = x+y−|2x−y|. Der Beweis verläuft analog zum Beweis für das Maximum.
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Aufgabe 8. Die Bewohner der Insel der Ritter und Schurken kennen die Insel so gut, dass sie genau wissen, welche Rohstoffe auf der Insel vorkommen und diese auch gesehen haben. Ein Goldgräber kommt auf die Insel und fragt die Inselbewohner, ob es auf der Insel Gold gibt.
Gibt es Gold auf der Insel, wenn er folgende Antworten erhält?
(a) Nur ein Inselbewohner antwortet, und seine Antwort lautet: “Ich habe nie behauptet, dass es auf dieser Insel Gold gibt.” Später findet der Goldgräber tatsächlich Gold auf der Insel.
Welchem Typ gehört der Inselbewohner an?
(b) Der Goldgräber bekommt von allen Inselbewohnern dieselbe Antwort: “Mindestens ein Schurke hat auf dieser Insel Gold gesehen.”
Lösung.
(a) Wäre der Inselbewohner ein Schurke, so hätte er gelogen, und damit hätte er schon einmal behauptet, dass es Gold auf der Insel gibt. Da es aber tatsächlich Gold auf der Insel gibt, hätte er damals die Wahrheit gesagt, ein Widerspruch. Also muss der Inselbewohner ein Ritter sein.
(b) Falls es auf der Insel einen Ritter gäbe, so hätte er die Wahrheit gesagt, und damit hat mindestens ein Schurke auf der Insel Gold gesehen. Da aber alle dasselbe sagen, sagen alle die Wahrheit und somit sind alle Inselbewohner Ritter. Dann kann aber kein Schurke Gold gesehen haben, da es keinen Schurken auf der Insel gibt. Damit sind alle Inselbewohner Schurken und lügen. Das bedeutet, dass kein Schurke auf der Insel Gold gesehen hat. Daher kann es auf der Insel kein Gold geben, da die Schurken nach Annahme das Gold sonst gesehen hätten.
