Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2019
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 4
Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge aller Menschen bezüglich Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Welches sind Äquiva- lenzrelationen? Welches sind Ordnungsrelationen?
(a) x∼y, fallsxder Bruder vonyist.
(b) x∼y, fallsxein Geschwister vonyist.
(c) x∼y, fallsxundydie gleiche Schuhgröße haben.
(d) x∼y, fallsxmindestens so alt wieyist.
(e) x∼y, falls die Personalausweisnummer vonxkleiner gleich derjenigen vonyist.
Lösung.
(a) irreflexiv (b) symmetrisch
(c) reflexiv, symmetrisch, transitiv (Äquivalenzrelation) (d) reflexiv, transitiv
(e) reflexiv, antisymmetrisch, transitiv (Ordnungsrelation)
Aufgabe 2. SeiM ={a, b, c, d}. Geben Sie eine Relation und das entsprechende Pfeildiagramm aufM an, die
(a) reflexiv und transitiv, aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch (b) irreflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv
(c) reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist.
Lösung. Es gibt mehrere richtige Lösungen; wir geben aber jeweils nur eine Lösung an.
(a) {(a, a),((a, b),(a, c),(b, b),(b, a),(b, c),(c, c),(d, d)} (b) {(a, b),(b, c)}
(c) {(a, a),(b, b),(c, c),(d, d)}(dies ist die Gleichheitsrelation) Die entsprechenden Pfeildiagramme sehen wie folgt aus:
a b
c c
a b
d c
a b
d c
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Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Relation aufZdefiniert durch a∼b:⇐⇒a+bist gerade eine Äquivalenzrelation definiert.
Lösung. Wir zeigen, dass∼reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv: Seia∈Z. Dann ista+a= 2aoffensichtlich gerade.
symmetrisch: Seiena, b∈Zmita∼b. Dann gibt es eink∈Zmita+b= 2k. Somit folgt b+a=a+b= 2kund damitb∼a.
transitiv: Seiena, b, c ∈Z mita∼b und b ∼c. Dann gibt esk, l ∈ Zmit a+b = 2k und b+c= 2l. Somit folgt
a+c= (a+b) + (b+c)−2b= 2k+ 2l−2b= 2(k+l−1) und dahera∼c.
Aufgabe 4. Wir betrachten eine leichte Abwandlung von Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Rela- tion aufZdefiniert durch
a∼b⇐⇒a+bist ungerade Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Lösung. Die Relation∼ist keine Äquivalenzrelation:
nicht reflexiv: Füra∈Zista+a= 2agerade und somita/a(d.h.∼ist irreflexiv).
symmetrisch: Seiena, b∈Zmita∼b. Dann ista+bungerade und wegenb+a=a+bist auchb+aungerade, alsob∼a.
nicht transitiv: Es gilt 1∼2 und 2∼3, aber 1/3.
Aufgabe 5. Dieechte Inklusion(ist definiert durch
M(N :⇐⇒M⊆N∧M,N . Ist(antisymmetrisch?
Lösung. Die echte Inklusion ist antisymmetrisch: Zu zeigen ist
∀M, N :M(N ∧N (M⇒M=N .
Gilt aberM(N undN (M, so gilt wegenM (N auchM⊆N und es gibt einx∈N\M. Nun ist aberx∈N und wegenN (M auchx∈M, ein Widerspruch. Die AnnahmeM(N∧N (M ist also widersprüchlich und damit ist die Implikation wahr.
Aufgabe 6. Welche der folgenden Zuordnungen definieren Funktionen? Welche der Funktio- nen sind injektiv?
(a) Autor7→Buch (b) Buch7→Erstautor1
(c) Buch7→erste Verfilmung (d) Film7→Drehbuch
1bei mehreren Autoren derjenige, der an erster Stelle steht.
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Lösung.
(a) keine Funktion, da ein Autor auch mehrere Bücher verfassen kann.
(b) Funktion, da jedes Buch genau einen Erstautor besitzt; aber nicht injektiv, da mehrere Bü- cher denselben Erstautor haben können.
(c) keine Funktion, da nicht jedes Buch verfilmt wird.
(d) injektive Funktion; jeder Film besitzt genau ein Drehbuch, und zwei verschiedene Filme haben verschiedene Drehbücher.
Aufgabe 7. SeienM={a, b}undN ={4,}.
(a) Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion vonMnachN? Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv?
(b) Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
(c) Wie erkennt man an einem solchen Pfeildiagramm, ob eine Funktion f : M →N injek- tiv/surjektiv/bijektiv ist, wobei M eine Menge von Buchstaben und N eine Menge von Figuren ist?
(1) a //
4
b //
(2) a // 4
b
(3) a
4
b
??
(4) a // 4
b
??
Lösung.
(a) (1) keine Funktion (da vonaaus zwei Pfeile ausgehen) (2) keine Funktion (da vonbaus kein Pfeil ausgeht) (3) bijektive Funktion
(4) Funktion, aber weder injektiv noch surjektiv
(b) Wenn es mehr Buchstaben als Figuren gibt, so gibt es keine injektiven Funktionen. Wenn es mehr Figuren als Buchstaben gibt, so gibt es keine surjektiven Funktionen.
(c) injektiv: Keine zwei verschiedenen Pfeile führen zu derselben Figur, d.h. zu jeder Figur führt höchstens ein Pfeil.
surjektiv: Zu jeder Figur führt mindestens ein Pfeil.
bijektiv: Zu jeder Figur führt genau ein Pfeil.
Aufgabe 8. Geben Sie Beispiele für Funktionen vonRnachRan, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv,
(b) surjektiv, aber nicht injektiv,
(c) bijektiv, aber ungleich der Identität (d.h. nicht die Funktionx7→x), (d) weder surjektiv noch injektiv sind.
Lösung. Es gibt viele richtige Lösungen, wir geben jeweils ein Beispiel an.
(a) f(x) =ex
(b) f(x) =x3−x(surjektiv, da die Funktion fürx→ ∞gegen∞strebt und fürx→ −∞gegen
−∞, nicht injektiv, daf(0) =f(1))
(c) f(x) =x+ 1 (bzw. jede nicht-konstante Gerade) (d) f(x) =x2, f(x) =|x|
