Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 4
Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge aller Menschen bezüglich Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Welches sind Äquiva- lenzrelationen? Welches sind Ordnungsrelationen?
(a) x∼y, fallsxder Bruder vonyist.
(b) x∼y, fallsxein Geschwister vonyist.
(c) x∼y, fallsxundydie gleiche Schuhgröße haben.
(d) x∼y, fallsxmindestens so alt wieyist.
(e) x∼y, falls die Personalausweisnummer vonxkleiner gleich derjenigen vonyist.
Lösung.
(a) irreflexiv (b) symmetrisch
(c) reflexiv, symmetrisch, transitiv (Äquivalenzrelation) (d) reflexiv, transitiv
(e) reflexiv, antisymmetrisch, transitiv (Ordnungsrelation)
Aufgabe 2. SeiM ={a, b, c, d}. Geben Sie eine Relation und das entsprechende Pfeildiagramm aufM an, die
(a) reflexiv und transitiv, aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch (b) irreflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv
(c) reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist.
Lösung. Es gibt mehrere richtige Lösungen; wir geben aber jeweils nur eine Lösung an.
(a) {(a, a),(a, b),(a, c),(b, b),(b, a),(b, c),(c, c),(d, d)} (b) {(a, b)}
(c) {(a, a),(b, b),(c, c),(d, d)}
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Relation aufZdefiniert durch a∼b:⇐⇒a−bist gerade eine Äquivalenzrelation definiert.
Lösung. Wir zeigen, dass∼reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv: Seia∈Z. Dann ista−a= 0 offensichtlich gerade.
symmetrisch: Seiena, b∈Zmita∼b. Dann gibt es eink∈Zmita−b= 2k. Somit folgt b−a=−(a−b) =−2k= 2(−k) und damitb∼a.
2
transitiv: Seiena, b, c ∈Z mita∼b und b ∼c. Dann gibt esk, l ∈Z mita−b = 2k und b−c= 2l. Somit folgt
a−c= (a−b) + (b−c) = 2k+ 2l= 2(k+l) und dahera∼c.
Aufgabe 4. Dieechte Inklusion(ist definiert durch
M(N :⇐⇒M⊆N∧M,N . Ist(antisymmetrisch?
Lösung. Die echte Inklusion ist antisymmetrisch: Zu zeigen ist
∀M, N :M(N ∧N (M⇒M=N .
Gilt aberM(N undN (M, so gilt wegenM (N auchM⊆N und es gibt einx∈N\M. Nun ist aberx∈N und wegenN (M auchx∈M, ein Widerspruch. Die AnnahmeM(N∧N (M ist also widersprüchlich und damit ist die Implikation wahr.
Aufgabe 5. SeienM={a, b}undN ={4,}.
Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion vonXnachY? Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv?
(a) a //
4
b //
(b) a // 4
b
(c) a
4
b
??
(d) a // 4
b
??
Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
Lösung.
(a) keine Funktion (da vonaaus zwei Pfeile ausgehen) (b) keine Funktion (da vonbaus kein Pfeil ausgeht)
(c) bijektive Funktion
(d) Funktion, aber weder injektiv noch surjektiv
Wenn es mehr Buchstaben als Figuren gibt, so gibt es keine injektiven Funktionen. Wenn es mehr Figuren als Buchstaben gibt, so gibt es keine surjektiven Funktionen.
Aufgabe 6. Geben Sie Beispiele für Funktionen vonNnachNan, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv,
(b) surjektiv, aber nicht injektiv,
(c) bijektiv, aber ungleich der Identität, (d) weder surjektiv noch injektiv sind.
Lösung. Es gibt viele verschiedene Beispiele. Wir geben hier jeweils nur eines an.
(a) f :N→N, n7→2n
3
(b) g:N→N, n7→
0, n= 0 n−1 n >0
(c) h:N→N, n7→
1, n= 0 0, n= 1 n, n >1
(d) k:N→N, n7→0 (konstante Nullfunktion) Aufgabe 7. Seienf , g, h:R→Rmit
f(x) =|x|, g(x) =1
x, h(x) =x+ 1.
Bestimmen Sief ◦g◦h, g◦h◦f undh◦g◦f. Lösung. Es gilt
(f ◦g◦h)(x) =f(g(h(x))) =f(g(x+ 1)) =f(x+11 ) =|x+11 | (g◦h◦f)(x) =g(h(f(x))) =g(h(|x|)) =g(|x|+ 1) =|x1|+1 (h◦g◦f)(x) =h(g(f(x))) =h(g(|x|)) =h(|1x|) =|1x|+ 1.
Die drei Funktionen sind paarweise verschieden, denn sie sind alle von einander verschieden an der Stellex= 2, denn
(f ◦g◦h)(−2) = 1 (g◦h◦f)(−2) =1 3 (h◦g◦f)(−2) =3 2.
Aufgabe 8. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bi- jektkivität.
(a) f :N→N,n7→n+ 3 (b) g:Z→Z,n7→n+ 3
(c) h:R→R,x7→x2+x−56 (d) k:Z×N\ {0} →Q: (a, b)7→a
b. Lösung.
(a) f ist injektiv: Seienn, m∈Nmitf(n) =f(m), alson+ 3 =m+ 3. Durch Subtrahieren von 3 auf beiden Seiten folgtn=m.
f ist nicht surjektiv: Es gibt keinn∈Nmitn+ 3 =f(n) = 0.
(b) gist injektiv: wie (a)
gist surjektiv: Seim∈N. Wir setzenn=m−3. Dann giltg(n) = (m−3) + 3 =m.
Daginjektiv und surjektiv ist, istgauch bijektiv.
(c) hist nicht injektiv: Mit der pq-Formel erhält man die Nullstellen x1 =−8 undx2 = 7 vonh. Damit gilth(−8) = 0 =h(7), aber−8,7.
hist nicht surjektiv: kist eine Parabel mit Scheitelpunkt (−1
2,−225
4 ) und somit gilth(x)≥
−225
4 für allex∈R. Insbesondere gibt es keinx∈Rmith(x) =−57.
4
(d) kist nicht injektiv: Es giltk(1,2) =12=24=k(2,4), aber (1,2),(2,4).
kist surjektiv: folgt direkt aus der Definition vonQ.
