Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2019
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 4
Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge aller Menschen bezüglich Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Welches sind Äquiva- lenzrelationen? Welches sind Ordnungsrelationen?
(a) x∼y, fallsxder Bruder vonyist.
(b) x∼y, fallsxein Geschwister vonyist.
(c) x∼y, fallsxundydie gleiche Schuhgröße haben.
(d) x∼y, fallsxmindestens so alt wieyist.
(e) x∼y, falls die Personalausweisnummer vonxkleiner gleich derjenigen vonyist.
Aufgabe 2. SeiM ={a, b, c, d}. Geben Sie eine Relation und das entsprechende Pfeildiagramm aufM an, die
(a) reflexiv und transitiv, aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch (b) irreflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv
(c) reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Relation aufZdefiniert durch a∼b:⇐⇒a+bist gerade eine Äquivalenzrelation definiert.
Aufgabe 4. Wir betrachten eine leichte Abwandlung von Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Rela- tion aufZdefiniert durch
a∼b⇐⇒a+bist ungerade Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Aufgabe 5. Dieechte Inklusion(ist definiert durch
M(N :⇐⇒M⊆N∧M,N . Ist(antisymmetrisch?
Aufgabe 6. Welche der folgenden Zuordnungen definieren Funktionen? Welche der Funktio- nen sind injektiv?
(a) Autor7→Buch (b) Buch7→Erstautor1
(c) Buch7→erste Verfilmung (d) Film7→Drehbuch
1bei mehreren Autoren derjenige, der an erster Stelle steht.
2
Aufgabe 7. SeienM={a, b}undN ={4,}.
(a) Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion vonMnachN? Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv?
(b) Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
(c) Wie erkennt man an einem solchen Pfeildiagramm, ob eine Funktion f : M →N injek- tiv/surjektiv/bijektiv ist, wobei M eine Menge von Buchstaben und N eine Menge von Figuren ist?
(1) a //
4
b //
(2) a // 4
b
(3) a
4
b
??
(4) a // 4
b
??
Aufgabe 8. Geben Sie Beispiele für Funktionen vonRnachRan, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv,
(b) surjektiv, aber nicht injektiv,
(c) bijektiv, aber ungleich der Identität (d.h. nicht die Funktionx7→x), (d) weder surjektiv noch injektiv sind.
