Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 2014
Dr. D.K. Huynh
Blatt 3 Aufgabe 12
Untersuchen Sie, ob f¨ur die folgenden Mengen das Supremum und das Infimum existiert und geben Sie sie gegebenenfalls an:
(a) 𝑀 = ℕ (b) 𝑀 = ℝ (c) 𝑀 =
{ 𝑛
𝑛 + 1 mit 𝑛 ∈ ℕ }
(d) 𝑀 = {sin(𝑥) mit 𝑥 ∈ ℝ } (e) 𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ : 𝑥
2− 𝑥 = 1}
(f) 𝑀 = {
𝑛∑
𝑘=0
1
2
𝑘mit 𝑛 ∈ ℕ }
.
Aufgabe 13
Es sei (𝑎
𝑛)
𝑛∈ℕeine reelle Folge mit
∣𝑎
𝑛− 𝑎
𝑛+1∣ ≤ 2
−𝑛f¨ur alle 𝑛 ∈ ℕ . Zeigen Sie: (𝑎
𝑛) ist eine Cauchy-Folge.
Aufgabe 14
Die Folgen (𝑎
𝑛)
𝑛∈ℕund (𝑏
𝑛)
𝑛∈ℕseien gegeben durch 𝑎
𝑛= (3 − 𝑛)
33𝑛
3− 1 und 𝑏
𝑛= 1 + (−1)
𝑛𝑛
22 + 3𝑛 + 𝑛
2.
Pr¨ufen Sie die Folgen auf Beschr¨anktheit, Konvergenz bzw. Divergenz. Bestimmen Sie den Grenzwert im Falle der Konvergenz.
Aufgabe 15
Gegeben sei eine reelle Zahl 𝑎 ∈ ℝ mit 𝑎 > 1. Wir definieren eine Folge 𝑎
𝑛rekursiv durch
𝑎
1:= 𝑎 𝑎
𝑛+1:= 1
2 (
𝑎
𝑛+ 𝑎 𝑎
𝑛) .
Zeigen Sie, dass 𝑎
𝑛konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Aufgabe 16
Geben Sie Beispiele reeller Folgen (𝑎
𝑛)
𝑛∈ℕund (𝑏
𝑛)
𝑛∈ℕan mit
𝑛→∞
lim 𝑎
𝑛= +∞ 𝑢𝑛𝑑 lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛= 0,
so dass gilt (a) lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛𝑏
𝑛) = +∞.
(b) lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛𝑏
𝑛) = −∞.
(c) lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛𝑏
𝑛) = 𝑐, wobei 𝑐 eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist.
(d) Die Folge (𝑎
𝑛𝑏
𝑛)
𝑛∈ℕist beschr¨ankt, aber nicht konvergent.
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