Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 4
Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge aller Menschen bezüglich Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Welches sind Äquiva- lenzrelationen? Welches sind Ordnungsrelationen?
(a) x∼y, fallsxder Bruder vonyist.
(b) x∼y, fallsxein Geschwister vonyist.
(c) x∼y, fallsxundydie gleiche Schuhgröße haben.
(d) x∼y, fallsxmindestens so alt wieyist.
(e) x∼y, falls die Personalausweisnummer vonxkleiner gleich derjenigen vonyist.
Aufgabe 2. SeiM ={a, b, c, d}. Geben Sie eine Relation und das entsprechende Pfeildiagramm aufM an, die
(a) reflexiv und transitiv, aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch (b) irreflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv
(c) reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Relation aufZdefiniert durch a∼b:⇐⇒a+bist gerade eine Äquivalenzrelation definiert.
Aufgabe 4. Wir betrachten eine leichte Abwandlung von Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Rela- tion aufZdefiniert durch
a∼b⇐⇒a+bist ungerade Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Aufgabe 5. Dieechte Inklusion(ist definiert durch
M(N :⇐⇒M⊆N∧M,N . Ist(antisymmetrisch?
Aufgabe 6. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Für allea, b, c∈Zgilt: Ausa|bunda|cfolgta|2b−3c.
(b) Für allea, b, c∈Zgilt: Ausa|cundb|cfolgta+b|c.
(c) Für allea, b, c∈Zgilt: Ausa|bunda-cfolgta-b+c.
(d) Für allea, b, c∈Zgilt: Ausa|cundb|cfolgtab|c.
Aufgabe 7. Welche der folgenden Zuordnungen definieren Funktionen? Welche der Funktio- nen sind injektiv?
(a) Autor7→Buch
2
(b) Buch7→Erstautor1 (c) Buch7→erste Verfilmung (d) Film7→Drehbuch
Aufgabe 8. Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen, d.h. bestimmen Sie die Menge allerx∈R, für dief undg definiert sind.
(a) f(x) =
√
1−x2 (b) g(x) = 1
ex(x2+ 2x−15)
1bei mehreren Autoren derjenige, der an erster Stelle steht.