Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 2
Aufgabe 1. Beweisen Sie, indem Sie verschiedene Beweismethoden verwenden.
(a) Wenn zwei Zahlena, b∈Zungerade sind, so istabungerade.
(b) Fallsabfüra, b∈Zungerade ist, so sindaundbungerade.
(c) Es gibt keine Zahlena, b∈Zmit 4a+ 6b= 11.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden (Un)Gleichungen durch Fallun- terscheidung:
(a) |3x+ 2| ≥6 (b) |x−1| −2|x|=−3
Aufgabe 4. Stimmt es, dassn2+n+ 41 für jede Zahln∈Neine Primzahl ist? Beweisen Sie oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 5. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Für allex∈Rgilt
√ x2=x.
(b) Für allex∈Rmitx≥0 gilt (√
x)2=x.
(c) Für allea, b∈Rmita, b≥0 gilt 2ab = (2a)b. (d) Für allex, y∈Rgilt|x+y|=|x|+|y|.
(e) Für allex∈Rgilt| |x| |=|x|.
Aufgabe 6. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25×25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate auf- einander liegen. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.
Aufgabe 7. DasMaximumzweier Zahlenx, y∈Rwird definiert als
max(x, y) :=
x x≥y, y x < y.
(a) Beweisen Sie: Für allex, y∈Rgilt max(x, y) = x+y+2|x−y|.
(b) Definieren Sie das Minimum min(x, y) zweier Zahlenx, y∈Rund finden Sie eine entspre- chende Formel wie in (a).
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Aufgabe 8. Die Bewohner der Insel der Ritter und Schurken kennen die Insel so gut, dass sie genau wissen, welche Rohstoffe auf der Insel vorkommen und diese auch gesehen haben. Ein Goldgräber kommt auf die Insel und fragt die Inselbewohner, ob es auf der Insel Gold gibt.
Gibt es Gold auf der Insel, wenn er folgende Antworten erhält?
(a) Nur ein Inselbewohner antwortet, und seine Antwort lautet: “Ich habe nie behauptet, dass es auf dieser Insel Gold gibt.” Später findet der Goldgräber tatsächlich Gold auf der Insel.
Welchem Typ gehört der Inselbewohner an?
(b) Der Goldgräber bekommt von allen Inselbewohnern dieselbe Antwort: “Mindestens ein Schurke hat auf dieser Insel Gold gesehen.”
