Vorkurs Mathematik - SoSe 2017
Regula Krapf Übungsblatt 2
Dies ist eine großeAuswahlvon Übungsaufgaben - Es wir keineswegs erwar- tet, dass innerhalb eines Nachmittags alle Aufgaben gelöst werden!
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die beiden Aussagen (∃x:P(x))∧(∃x:Q(x)) und
∃x: (P(x)∧Q(x)).
nicht dasselbe ausdrücken. Wie sieht es aus, wenn man den Existenzquantor
∃durch den Allquantor∀ersetzt?
Aufgabe 2. Finden Sie den Fehler in folgendem Widerspruchsbeweis:
Behauptung:Alles, was nicht rot ist, ist blau.
Beweis: Wir werden die Behauptung durch Widerspruch beweisen. Nehmen wir also die Negation der Behauptung an: Alles, was rot ist, ist blau. Dies ist aber ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Farbe. Also kann die Annahme nicht gelten und die Behauptung ist bewiesen.
Aufgabe 3. Verneinen Sie folgende Aussagen:
(a) Für jede natürliche Zahln≥1 gibt es eine Primzahl, dienteilt.
(b) Der Boden ist vom Regen nass oder jemand hat ihn mit dem Wasserschlauch vollgespritzt.
(c) Jede Frau und jeder Mann hat schon mindestens einmal im Leben nicht alles vom Teller aufgegessen.
Aufgabe 4. Berechnen Sie jeweils die Lösungsmenge folgender (Un)Gleichungen.
(a) |3x+ 2|≥6 (b) |x−1|−2|x|=−3
(c) |2x+1x−3|≤1.
Aufgabe 5. Seienx, y∈R. Beweisen Sie per Fallunterscheidung dieDreiecks- ungleichung:
|x+y|≤|x|+|y|.
Aufgabe 6. Stimmt es, dassn2+n+41 für jede Zahl eine Primzahl ist? Beweisen Sie oderfinden Sie ein Gegenbeispiel.
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Aufgabe 7. Zeigen Sie mit Hilfe vom Schubfachprinzip um folgende Aussage zu beweisen: Unter 5 Punkten in einem Quadrat der Seitenlänge 2 gibt es zwei, deren Abstand≤√
2 ist.
Hinweis: Teilen Sie das Quadrat auf.
Aufgabe 8. [Existenz des Umkreismittelpunktes] Formalisieren Sie die Exis- tenz eines Umkreismittelpunktes mit Quantoren: Für jedes Dreieck gibt es einen Punkt, dessen Abstand zu allen Eckpunkten des Dreiecks gleich lang ist. Beweisen Sie die Aussage.
Hinweis: Erinnern Sie sich daran, wie man den Umkreismittelpunkt konstruiert.
Aufgabe 9. Zeigen Sie, dass die Aussage in Aufgabe 8 falsch ist, wenn man
“Dreieck” durch “Viereck” ersetzt.
Aufgabe 10. Erklären Sie den folgenden „Witz“.
Drei Logiker kommen in eine Bar...
»Wollt ihr alle ein Bier?« fragt die Kellnerin.
»Weiß ich nicht« sagt der erste Logiker.
»Weiß ich nicht« sagt der zweite Logiker.
»Ja!« sagt der dritte Logiker.
