Vorkurs Mathematik - SoSe 2017
Regula Krapf Übungsblatt 4
Dies ist eine großeAuswahlvon Übungsaufgaben - Es wir keineswegs erwartet, dass innerhalb eines Nachmittags alle Aufgaben gelöst werden!
Aufgabe 1. Seiena, b und c(mathematische) Objekte.
(a) Es gelte {a, b}={c}. Zeigen Siea=b.
(b) Es gelte {a, b}={a, c}. Beweisen Sie, dassb=cgilt.
Aufgabe 2. Seien a, b, c und d (mathematische) Objekte. Es gelte {a, b, c} = {a, b, d}. Gilt dannc=d? Beweisen Sie oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 3. Beweise die de Morganschen Regeln für MengenA, B, C:
(a) A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) (b) A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).
Aufgabe 4. Seien Aund B Mengen mit A∩B = ∅ und A∪B = A. Folgern Sie, dass B=∅.
Hinweis: Machen Sie einen Widerspruchsbeweis!
Aufgabe 5. Die symmetrische Differenz zweier MengenA und B ist definiert als
A�B := (A\B)∪(B\A).
(a) Stellen Sie A�B in einem Venn-Diagramm dar und erläutern Sie, wieso der Name “symmetrische Differenz” Sinn macht.
(b) Zeigen Sie die Äquivalenz
A�B=∅ ⇐⇒A=B.
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Aufgabe 6. Berechnen Sie die Potenzmenge von folgenden Mengen:
(a) ∅ (b) {1,2,3}
(c) {{1},{2,3}}
Aufgabe 7. Gelten folgende Gleichheiten für alle MengenAundB? Beweisen Sie oderfinden Sie ein Gegenbeispiel.
(a) P(A∪B) =P(A)∪P(B) (b) P(A∩B) =P(A)∩P(B)
Aufgabe 8. Ein Dreieck heißt gleichschenklig, falls es zwei gleich lange Seiten hat. Beweisen Sie per Ringschluss, dass die folgenden Aussagen für ein Dreieck Δ=ΔABC äquivalent sind:
(1) Δist gleichschenklig.
(2) Δhat zwei gleich lange Höhen.
(3) Δhat zwei gleich große Winkel.
Hinweis: Verwenden Sie die Kongruenzsätze!
Zusatzaufgabe: Finden Sie noch weitere Eigenschaften von Δ, die zu (1) - (3) äquivalent sind.
Aufgabe 9. Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n genau dann durch 3 teil- bar ist, wenn sie als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen dargestellt werden kann.
Aufgabe 10. Man kann die Binomialkoeffizienten�n
k
�(fürn, k∈Nmitk≤n) alternativ definieren als die Anzahl Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einern-elementigen Menge (z.B. {1, . . . , n}) auszuwählen.
Argumentieren Sie (informell), wieso diese Definition der Definition aus der Vorlesung entspricht.
