Vorkurs Mathematik - SoSe 2017
Regula Krapf Übungsblatt 1
Dies ist eine großeAuswahlvon Übungsaufgaben - Es wir keineswegs erwar- tet, dass innerhalb eines Nachmittags alle Aufgaben gelöst werden!
Aufgabe 1. “Meiers werden uns heute abend besuchen”, kündigt Frau Müller an. “Die ganze Familie, also Herr und Frau Meier mit ihren drei Kindern Fran- ziska, Kathrin und Walter?” fragt Herr Müller bestürzt. Darauf Frau Müller, die keine Gelegenheit vorübergehen lässt, ihren Mann zu logischem Denken anzuregen: “Nun, ich will es dir so erklären: Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine Frau mit. Mindestens eines der beiden Kinder Walter und Kathrin kommt. Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide.
Entweder kommt Franziska und Kathrin oder beide nicht. Und wenn Walter kommt, dann auch Kathrin und Herr Meier. So, jetzt weisst du, wer uns heute abend besuchen wird.”
Wer kommt und wer kommt nicht?
Aufgabe 2. Gegeben seien folgende Aussagen:
A: Es ist kalt.
B: Es schneit.
Drücken Sie die nachfolgenden Sätze als aussagenlogische Formeln mit Hilfe der VariablenAundBaus. Geben Sie zusätzlich für jede Formel die zugehörige Wahrheitstafel an und kennzeichnen Sie die erfüllenden bzw. widerlegenden Variablenbelegungen.
(a) Es ist kalt und es schneit.
(b) Es ist kalt, aber es schneit nicht.
(c) Es ist nicht kalt und es schneit nicht.
(d) Es schneit oder es ist kalt (oder beides).
(e) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber nicht beides.
(f) Wenn es schneit, ist es kalt.
(g) Es schneit nicht, wenn es nicht kalt ist.
(h) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber es schneit nicht, wenn es kalt ist.
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Aufgabe 3. Eine Tautologie ist eine Aussage, die immer wahr ist, d.h. unab- hängig vom Wahrheitswert der aussagenlogischen Variablen (hier Aund B).
Überlegen Sie sich informell, ob es sich bei den folgenden Beispielen um Tau- tologien handelt, und beweisen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von Wahrheits- tafeln.
(a) (A∨¬B)→(B∨¬A) (b) ((A→B)∧¬B)→¬A.
Aufgabe 4(Das Lügner-Paradoxon). Welche der folgenden Sätze sind Aussa- gen? Sind sie wahr oder falsch?
(a) Ich lüge immer.
(b) Ich lüge manchmal.
(c) Ich lüge jetzt gerade.
Aufgabe 5. Seiena, b, uundvreelle Zahlen mita, b, u, v >0 unda, b�1.
(a) Beweisen Sie das Logarithmengesetz loga(uv) =v·loga(u).
(b) Welches Potenzgesetz haben Sie in (a) verwendet? Zeigen Sie, dass dieses Potenzgesetz aus dem Logarithmusgesetz in (a) folgt.
(c) Beweisen SieEulers Goldene Regel: logax=loglogb(x)
b(a).
Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann.
Aufgabe 7. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25×25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate aufeinander liegen. Beweisen Sie durch Wider- spruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.
Aufgabe 8. Gegeben seien zwei Halbgeraden h1, h2, die von einem Punkt S ausgehen, sowie Punkte P1, Q1 auf h1 und P2, Q2 aufh2. Der 1. Strahlensatz besagt Folgendes: Falls die GeradenP1P2undQ1Q2parallel sind, so giltSP1: SQ1=SP2:SQ2.
(a) Formulieren Sie die Umkehrung des 1. Strahlensatzes.
(b) Beweisen Sie die Umkehrung per Kontrapositionsbeweis.
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Aufgabe 9. SeienA und B Aussagen. Dann heisst A hinreichend für B, falls A⇒Bwahr ist. In diesem Fall heisstBnotwendigfürA.
(a) Überlegen Sie sich kurz, wieso diese Terminologie Sinn macht.
(b) Für eine reelle Zahl x sei A die Aussage x2 < 4. Geben Sie jeweils eine Bedingung fürxan, die fürA
(i) notwendig, aber nicht hinreichend (ii) hinreichend, aber nicht notwendig (iii) hinreichend und notwendig
(iv) weder notwendig noch hinreichend ist.
Aufgabe 10(Wasons Auswahlaufgabe1). Die abgebildeten vier Karten enthal- ten jeweils auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine Zahl.
Welche Karten muss man notwendigerweise umdrehen, wenn man feststellen will, ob folgende Aussage für alle Karten gilt: “Wenn auf einer Seite der Karte ein Vokal abgebildet ist, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl”?
1Aufgabe übernommen von http://www2.hs-fulda.de/~grams/dnkfln.htm
