Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante A)
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 2
Aufgabe 1. Beweisen Sie, indem Sie verschiedene Beweismethoden verwenden.
(a) Wenn zwei Zahlena, b∈Zungerade sind, so ista·bungerade.
(b) Fallsabfüra, b∈Zungerade ist, so sindaundbungerade.
(c) Es gibt keine Zahlena, b∈Zmit 4a+ 6b= 11.
(d) Fallsx∈Rmitx≥0 irrational ist, so ist auch√
xirrational.
Aufgabe 2. Beweisen Sie mit einem Widerspruchsbeweis: Für alle x∈R+ giltx+ 1x ≥2. Wie muss man den Beweis abändern, sodass ein direkter Beweis entsteht?
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann.
Aufgabe 4. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25×25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate auf- einander liegen. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.
Aufgabe 5. Gegeben ist die folgende Behauptung:
Für allen∈Nmitn≥3gilt: Falls2n−1eine Primzahl ist, so istnungerade.
(a) Überlegen Sie anhand von Beispielen, ob die Behauptung wahr oder falsch ist. Muss man zum Testen der Vermutung gerade oder ungerade Zahlen einsetzen?
(b) Begründen Sie Ihre Vermutung aus (a), indem Sie die Behauptung beweisen (falls sie wahr ist) oder eine Zahln∈Nmitn≥3 angeben, für die die Aussage falsch ist (falls die Behaup- tung falsch ist).
Hinweis:Denken Sie an die binomischen Formeln!
