Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante A)
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 1
Aufgabe 1. Beweisen Sie:¬(A⇒B)≡A∧ ¬B. Verwenden Sie dies um das folgende Sprichwort zu negieren: „Wenn der Bauer nicht schwimmen kann, liegt’s an der Badehose.“
Lösung. Wir geben zwei verschiedene Beweise an:
• Mit einer Wahrheitstafel:
A B A⇒B ¬(A⇒B) ¬B A∧ ¬B
w w w f f f
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f w w f f f
f f w f w f
Da die Einträge in der Wahrheitstafel von¬(A⇒B) undA∧ ¬Bübereinstimmen, folgt
¬(A⇒B)≡A∧ ¬B.
• Mit den Rechenregeln der Aussagenlogik:
¬(A⇒B)≡ ¬(¬A∨B)≡ ¬(¬A)∧ ¬B≡A∧ ¬B.
Bei der zweiten Umformung wird die de Morgansche Regel verwendet.
Die Negation des Sprichworts lautet: „Der Bauer kann nicht schwimmen und es liegt nicht an der Badehose.“
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass
¬A∧(¬B⇒A)⇒B eine Tautologie ist,
(a) indem Sie die Wahrheitstafel angeben.
(b) indem Sie die Rechenregeln der Aussagenlogik verwenden.
Lösung.
(a) Mit einer Wahrheitstafel:
A B ¬A ¬B ¬B⇒A ¬A∧(¬B⇒A) ¬A∧(¬B⇒A)⇒B
w w f f w f w
w f f w w f w
f w w f w w w
f f w w f f w
Da alle Einträge in der Wahrheitstafel von¬A∧(¬B⇒A)⇒B“w” sind, handelt es sich um eine Tautologie.
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(b) Mit den Rechenregeln der Aussagenlogik:
¬A∧(¬B⇒A)⇒B≡ ¬(¬A∧(¬(¬B)∨A))∨B
≡ ¬(¬A∧(B∨A))∨B
≡ ¬(¬A)∨(¬(B∨A))∨B
≡A∨(¬(A∨B))∨B
≡(A∨B)∨ ¬(A∨B).
Dabei wurde der Reihe nach die äquivalente Darstellung von ⇒, die doppelte Negation, die de Morgansche Regel für∧, die doppelte Verneinung und das Kommutativgesetz für∨ verwendet. Die letzte Aussage ist offensichtlich eine Tautologie, denn sie ist von der Form C∨ ¬C mitC=A∨B.
Aufgabe 3. Handelt es sich bei den folgenden Aussagen um Tautologien? Begründen Sie mit einer Wahrheitstafel.
(a) ¬(¬A∨B)⇒(B⇒A) (b) (B⇔ ¬A)⇒(A∧ ¬B) Lösung.
(a) Wir geben die Wahrheitstafel von¬(¬A∨B)⇒(B⇒A) an:
A B ¬A ¬A∨B ¬(¬A∨B) B⇒A ¬(¬A∨B)⇒(B⇒A)
w w f w f w w
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f w w w f f w
f f w w f w w
Da alle Einträge in der Wahrheitstafel von¬(¬A∨B)⇒(B⇒A) „w“ sind, handelt es sich um eine Tautologie.
(b) Wir geben die Wahrheitstafel von (B⇔ ¬A)⇒(A∧ ¬B) an:
A B ¬A B⇔ ¬A ¬B A∧ ¬B (B⇔ ¬A)⇒(A∧ ¬B)
w w f f f f w
w f f w w w w
f w w w f f f
f f w f w f w
Da nicht alle Einträge in der Wahrheitstafel von (B⇔ ¬A)⇒(A∧ ¬B) „w“ sind, handelt es sich nicht um eine Tautologie.
Aufgabe 4. Sei L(x, y) die Aussageform „xliebty“. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die natürliche Sprache.
(a) ∀x∀y:L(y, x) (b) ∃x∀y:¬L(x, y)
(c) ∃x∃y:L(x, y)∧L(y, x)
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(d) ∀x∃y:L(x, y)∧ ¬L(y, x)
(e) ∀x:L(x, x)∧ ∀y: (y,x⇒ ¬L(x, y)) Lösung.
(a) Jeder liebt jeden.
(b) Es gibt jemanden, der niemanden liebt.
(c) Es gibt zwei Personen, die sich gegenseitig lieben.
(d) Jeder liebt jemanden, der ihn nicht liebt. (“Jeder ist in eine Person unglücklich verliebt.”) (e) Jeder liebt sich selbst und sonst niemanden.
Aufgabe 5. Drücken Sie die folgenden Sätze mit Hilfe der logischen Symbole aus und überle- gen Sie, ob die Sätze wahr oder falsch sind.
(a) Die Gleichungx2+x+ 1 = 0 ist lösbar in den reellen Zahlen.
(b) Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Primzahl.1 (c) Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
(d) Die Menge (0,1) hat ein größtes Element.2 Lösung.
(a) ∃x∈R:x2+x+ 1 = 0. Dies ist eine falsche Aussage, da fürp=q= 1 gilt p
2
2
−q=14−1 =−3
4<0 (pq-Formel).
(b) ∀n∈N∃p∈P:p > n. Dies ist eine wahre Aussage, da es unendlich viele Primzahlen gibt (wird am Dienstag in der Vorlesung bewiesen).
(c) ∀n∈Z∃k∈Z: (n= 2k∨n= 2k+ 1); äquivalent und damit auch korrekt ist∀n∈Z: (∃k∈ Z:n= 2k)∨(∃k∈Z:n= 2k+ 1). Offensichtlich wahr.
(d) ∃x ∈ (0,1) ∀y ∈ (0,1) : y ≤ x. Dies ist eine falsche Aussage, denn falls x ∈ (0,1), so gilt x < 1+x2 <1 und 1+x2 ∈(0,1).
1Die Menge aller Primzahlen wird üblicherweise mitPbezeichnet.
2(0,1) :={x∈R|0< x <1}ist die Menge aller reellen Zahlenxmit 0< x <1.)
