Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die natürliche Sprache

Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20

Dr. Regula Krapf Übungsblatt 2

Aufgabe 1. Verneinen Sie die folgenden Redewendungen und Sprichwörter:

(a) Es ist nicht alles Gold, was glänzt.

(b) Marmor, Stein und Eisen bricht, aber Omas Plätzchen nicht!

(c) Für jeden Topf gibt es einen passenden Deckel.

(d) Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt, wie es ist.

(e) Wer nichts wird, wird Wirt.

Aufgabe 2. Sei L(x, y) die Aussageform “xliebty”. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die natürliche Sprache.

(a) ∀x∀y:L(y, x) (b) ∃x∀y:¬L(x, y)

(c) ∃x∃y:L(x, y)∧L(y, x) (d) ∀x∃y:L(x, y)∧ ¬L(y, x)

(e) ∀x:L(x, x)∧ ∀y: (y,x⇒ ¬L(x, y))

Aufgabe 3. Drücken Sie die folgenden Sätze mit Hilfe der logischen Symbole aus und überle- gen Sie, ob die Sätze wahr oder falsch sind.

(a) Die Gleichungx²+x+ 1 = 0 ist lösbar in den reellen Zahlen.

(b) Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Primzahl.¹ (c) Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

(d) Die Menge (0,1) hat ein größtes Element.² Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die beiden Aussagen

(1) (∀x:E(x))∨(∀x:F(x)) und (2) ∀x: (E(x)∨F(x)).

nicht dasselbe ausdrücken, indem Sie AussageformenE(x) undF(x) angeben, für die (1) und (2) nicht äquivalent sind. Wie sieht es aus, wenn man den Allquantor∀durch den Existenzquantor

∃ersetzt?

Aufgabe 5. Beweisen Sie, indem Sie verschiedene Beweismethoden verwenden.

(a) Wenn zwei Zahlena, b∈Zungerade sind, so istabungerade.

(b) Fallsabfüra, b∈Zungerade ist, so sindaundbungerade.

(c) Es gibt keine Zahlena, b∈Zmit 4a+ 6b= 11.

(d) Fallsx∈Rmitx≥0 irrational ist, so ist auch√

xirrational.

Aufgabe 6. Beweisen Sie mit einem Widerspruchsbeweis: Für alle a, b ∈ R mit a, b ≥ 0 gilt a+b≥2

√

ab. Wie muss man den Beweis abändern, sodass ein direkter Beweis entsteht?

1Die Menge aller Primzahlen wird üblicherweise mitPbezeichnet.

2(0,1) :={x∈R|0< x <1}ist die Menge aller reellen Zahlenxmit 0< x <1.)

2

Aufgabe 7. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann.

Aufgabe 8. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25×25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate auf- einander liegen. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.