Ubungen zur Funktionentheorie 1 ¨
SS 2017 Blatt 7 Prof. Fritzsche
25 ) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
∂D1(i/2)
sin(π i z/2)
z
2− ( i + 1)z + i dz und Z
∂D3(0)
cosh(z
2) z(z
2+ 4) dz .
26 ) a) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und ohne Nullstellen, f
0stetig. Zeigen Sie: Ist |f (z) − 1| < 1 f¨ ur alle z ∈ G, so ist
Z
γ
f
0(z)
f (z) dz = 0 f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg γ in G.
b) Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet, f : G → C holomorph und ohne Nullstellen. Zeigen Sie: Ist f
0holomorph, so gibt es eine holomorphe Funktion h auf G mit e
h= f und h
0= f
0/f .
27 ) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und f
0stetig. Zeigen Sie:
Ist α : [a, b] → G ein geschlossener Integrationsweg, so ist Z
α
f(z) · f
0(z) dz rein imagin¨ ar.
28 ) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
∂D2(0)
e
πz/2z
2− 1 − 2 i z dz und Z
∂D2(0)
