Handout - Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Vanessa Ruiz García 07.Juni 2018
Definition 1 (Primzahl): Eine natürliche Zahl > 1 heißt Primzahl, wenn sie außer 1 und sich selbst keine Teiler hat.
Der Primkörper
Für jede Primzahlp bildet die MengeZp ={0,1, . . . , p−1} mit Addition und Multipli- kation „modulo p“ einen endlichen Körper.
• Fürx∈Zp, x6= 0ist das Inverse bezüglich der Addition (für das in aller Regel−x geschrieben wird) durchp−x∈ {1, . . . , p−1}gegeben. Wennp >2 ist, dann sind x und−x verschiede Elemente vonZp.
• Jedes x ∈ Zp\{0}hat ein eindeutiges multiplikatives Inverses x¯ ∈ Zp \ {0}, mit x¯x≡1(modp).
• Die Quadrate 02,12,22,32, ..., h2 definieren verschiedene Elemente von Zp, für h2 = [p2]. Diese 1 + [p2]Elemente02,12,22,32, ..., h2 nennt man dieQuadrate inZp.
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Lemma 2: Für jede Primzahlpder Formp= 4m+ 1hat die Gleichungs2 ≡ −1(modp) zwei Lösungen s {1,2, . . . , p−1}, fürp= 2 gibt es genau eine solche Lösung, während es für Primzahlen von der Formp= 4m+ 3keine Lösung gibt.
Lemma 3: Keine Zahln=4m+ 3ist eine Summe von zwei Quadraten.
Proposition 4: Jede Primzahl der Form 4m+1 ist eine Summe von zwei Quadraten, sie kann also alsp=x2+y2 dargestellt werden, mit natürlichen Zahlenx und y.
Definition 5 (Schubfachprinzip): Seien m Objekte in n Kategorien (Schubfächer) eingeteilt. Wenn m > n ist, so gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens zwei Objekte enthält.
Satz 6: Eine natürliche Zahl n kann genau dann als Summe von zwei Quadraten dar- gestellt werden, wenn jeder Primfaktor der Form p=4m+ 3in der Primfaktorzerlegung von nmit geraden Exponenten auftritt.
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