Klimovsky/L¨ohr/Winter Sommersemester 2015
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 5¨
Messbare Funktionen
Aufgabe 5.1 (Beispiele). (4 Punkte)
(a) Seien fi: R → R bzw. g: R2 → R die folgenden Abbildungen. Der Bildraum ist nat¨urlich mit der Borelschenσ-Algebra versehen. Gib die vonfi bzw.gerzeugtenσ-Al- gebren an.
f1(x) = |x|
f2(x) = ⌊x⌋:= max{n∈Z|n≤x} g(x, y) = x2+y2
(b) Sei f:R→Rmonoton. Zeige, dass f Borel-messbar ist.
Aufgabe 5.2 (Zylindermengen). (4 Punkte)
Sei Ω := {0,1}N die Menge aller Folgen aus Nullen und Einsen, und Zn die in Aufgabe 4.2 definierte Menge der Zylindermengen. Definiere dieσ-AlgebrenFn:=σ(Zn). Entscheide und begr¨unde, f¨ur welche n∈Ndie folgenden reellwertigen Funktionen auf Ω Fn-messbar sind:
(a) f(ω) :=
(min{k≥1|ωk= 1}, falls min{k≥1|ωk= 1} ≤5
5, sonst
(b) g(ω) := max{ωk|k≥1} (c) h(ω) := lim supn→∞
1 n
Pn
k=1ωk
Zeige f¨ur diejenigen Funktionen, die f¨ur keinn∈NFn-messbar sind, dass sieF-messbar sind mitF :=σ S
n∈NFn .
Aufgabe 5.3 (Borelsche σ-Algebra von stetigen Funktionen erzeugt). (4 Punkte) (a) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige, dass die MengeC(X) der stetigen, reellwertigen
Funktionen auf X die Borelscheσ-Algebra B(X) erzeugt, d.h.
σ C(X)
= B(X).
(b) Sei X := N und τ := {A ⊆ N | N\A endlich} ∪ {∅}. Zeige, dass in dem (nicht metrisierbaren) topologischen Raum (X, τ) gilt: σ C(X)
6=B(X).
Hinweis: Uberlege zun¨¨ achst, wie stetige Funktionen auf X aussehen.
Bemerkung: Ba(X) :=σ C(X)
heißt Bairsche σ-Algebra auf X.
Bitte wenden!
Aufgabe 5.4 (Approximationssatz). (4 Punkte) SeiF ein Semiring auf Ω,A:=σ(F), undµ ein Maß aufA, welchesσ-endlich aufF ist. Sei A ∈ A. Zeige: F¨ur jedes ε > 0 gibt es disjunkte Mengen A1, A2, . . . ∈ F mit A ⊆S
n∈NAn
und µ S
n∈NAn\A
≤ε.
Hinweis: Benutze, dass das ¨außere Maß µ∗(C) = inf P
n∈Nµ(Fn)
F1, F2, . . . ∈ F, C ⊆ S
n∈NFn auf Amit µ¨ubereinstimmt, und dass sich die Fnin dem Infimum disjunkt w¨ahlen lassen, da F ein Semiring ist.
Abgabe Di, 19.05. bis 12:00 in den ¨Ubungskasten
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 12.05.gibt Albert Shiryaev (Steklov Mathematical Institute, Moscow) einen Vortrag.
Am 19.05.gibt Martin Keller-Ressel (TU Dresden) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16:15 – 17:15. Raum: WSC-S-U-3.03
