MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006
DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN 24. Juli 2006
P. Schauenburg
Klausur zur Vorlesung ” Funktionentheorie“
Nachname: Vorname:
1 2 3 4 5 6 7 8 P
Alle acht Aufgaben sollen bearbeitet werden.
Bitte jedes beschriebene Blatt mit Namen versehen.
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Aufgabe 1 (3+3 Punkte)
a) Formuliere das Maximumprinzip (oder eine Variante davon).
b) SeiU ∈C offen und seienf :U →C und fn :U →C,n ∈N, Funktionen.
Definiere: (fn) konvergiert kompakt gegen f.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Entscheide (ohne Begr¨undung), ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind.
Bewertung: richtige Antwort: 1 Punkt, keine Antwort: 0 Punkte, falsche Antwort:
-1 Punkt. Eine negative Gesamtpunktzahl ist bei dieser Aufgabe m¨oglich.
a) Die Exponentialfunktion exp :C→C ist weder injektiv noch surjektiv.
°richtig ° falsch b) F¨ur jede offene Menge U ⊂ C ist jede holomorphe Funktion f : U → C
integrabel. °richtig ° falsch
c) Es gibt eine holomorphe Funktion f : E → C, die injektiv ist und f¨ur die gilt: f(E∩R)⊂Rund f(E∩Ri)⊂R(1 +i). °richtig ° falsch d) Es gibt eine biholomorphe Abbildung f : E → {z ∈ C | Re(z) > 0,
Im(z)>0}. °richtig ° falsch
e) Die Kotangensfunktion besitzt keine wesentliche Singularit¨at.
°richtig ° falsch f) Es gibt eine offene Menge ∅6=U ⊂ C, f¨ur die der Ring der meromorphen
Funktionen M(U) kein K¨orper, aber ein Integrit¨atsring ist.
°richtig ° falsch
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Sei c > 0 und f : C\Z → C eine holomorphe Funktion mit |f(z)| ≥ c f¨ur alle z ∈C\Z. Zeige, dass f konstant ist.
Aufgabe 4 (6 Punkte) Bestimme die gr¨oßtm¨ogliche offene Teilmenge vonC, auf der die Laurent-Reihe
X∞
n=−∞
µ2|n| −n−2 2n+ 1
¶n zn
konvergiert.
Aufgabe 5 (2+4 Punkte)
Sei U ⊂C offen, a∈U und f :U \ {a} →C holomorph. Zeige:
a) Resa(f0) = 0.
b) Ist a ein Pol vonf, so ista eine wesentliche Singularit¨at von g :U \ {a} →C, z 7→ef(z).
Hinweis: Betrachte (ef(z))0. Zeige zun¨achst, dass g keine hebbare Singula- rit¨at bei a besitzt.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Berechne Z
∂B3(0)
z−1 z2−z−2dz.
Aufgabe 7 (6 Punkte)
Berechne Z∞
−∞
t
(t2 + 2t+ 2)2dt.
Aufgabe 8 (6 Punkte)
Wie viele Nullstellen vonz5−4z2−z−1 (mit Vielfachheit gez¨ahlt) liegen a) in E?
b) in B2(0)?
