aufR gleichm¨aßig konvergiert

Ubungen zu H¨¨ ohere Mathematik f¨ur Physiker II Blatt 3

1 Man zeige, daß die Reihe ((xⁿe^−n|x|)) aufR gleichm¨aßig konvergiert. 2 2 SeiE6=∅,F ein Banachraum undf_n, g_n:E →Fgleichm¨aßig konvergente

Folgen mit Limitesf bzw. g, dann konvergiert die Folgefn+gngleichm¨aßig

nachf+g. 2

IstF ein Hilbertraum und sind die Grenzfunktionenf, ggleichm¨aßig be- schr¨ankt auf E, d.h. ist sup_x∈Ekf(x)k < ∞, entsprechend f¨ur g, dann folgt

hf_n, g_ni⇒hf, gi.

2 3 Sei fn : E → R gleichm¨aßig konvergent mit Limes f und existiert eine

Konstantec >0, so daß

|fn(x)| ≥c ∀x∈E, ∀n∈N,

dann konvergiertf_n⁻¹ gleichm¨aßig nachf⁻¹. 2 4 Sei 0< n eine Nullfolge. Man beweise, daß die Funktionenfolgefn(x) =

p²_n+|x|² gleichm¨aßig aufR nachf(x) =|x| konvergiert. 2 5 Man beweise, daß die Reihe ((xⁿ(1−x))) auf (−1,1] zwar punktweise

konvergiert, aber nicht gleichm¨aßig. 3