Anwesenheits¨ ubungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2017/2018
Blatt 2 27.10.2017
Aufgabe 2: Konstruieren Sie die Parametrisierung der abgebildeten Kurve. Diese entsteht, indem ein Kreis von Radius 1 gleichm¨ aßig die x-Achse entlang rollt.
1 y
x 0
t
a) Geben Sie zun¨ achst die Parametrisierung der Kurve an, die die Bewegung des Kreismittelpunktes beschreibt.
b) Geben Sie anschließend die Parametrisierung der Kurve an, die die Bewegung eines Punktes auf einem im Uhrzeigersinn rotierenden Kreis mit festem Mittelpunkt (0, 0) beschreibt.
c) Geben Sie die Parametrisierung der oben abgebildeten und be- schriebenen Kurve an, indem sie die L¨ osungen aus Aufgabenteil a) und b) addieren.
d) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit.
e) Bestimmen Sie die L¨ ange der Kurve, die bei einer Umdrehung des Kreises entsteht.
Tipp: cos(t) = cos
2(
2t ) − sin2(
2t ) L¨ osung:
a) Die Kurve, die die Bewegung des Kreismittelpunktes beschreibt, wird parame- trisiert durch
γ M (t) = t
1
.
b) Die Kurve, die die Bewegung eines Punktes auf einem im Uhrzeigersinn rotie- renden Kreis mit festem Mittelpunkt (0, 0) beschreibt und im Punkt (0, −1) startet, wird parametrisiert durch
γ P (t) =
− sin(t)
− cos(t)
.
c) Die Parametrisierung der oben abgebildeten Kurve ist gegeben durch γ(t) = γ M (t) + γ P (t) =
t − sin(t) 1 − cos(t)
d) Der Geschwindigkeitsvektor ist gegeben durch
˙ γ(t) =
1 − cos(t) sin(t)
und somit l¨ aßt sich der Betrag der Geschwindigkeit wie folgt berechnen:
k γ(t)k ˙ = q
(1 − cos(t))
2+ sin
2(t)
= p
1 − 2 cos(t) + 1
= p
2 − 2 cos(t) e) F¨ ur eine Umdrehung des Kreises ist t ∈ [0, 2π].
l(2π) = Z
2π0
k γ(s)k ˙ ds = √ 2
Z
2π 0p 1 − cos(s) ds
= √ 2
Z
2π 0q
1 − cos
2( s2) + sin
2( s2) ds
) ds
= √ 2
Z
2π 0q
2 sin
2( s2) ds
= 2 Z
2π0
