Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 8
Aufgabe 1. Bringen Sie die folgenden Matrizen in Zeilenstufenform:
(a)
2 3 4 1 2 1 3 5 5
(b)
1 2 3 0 4 5 6 1 2 3 3 1
(c)
−3 2 −7 0 1 −6 −5 8 2 −9 −7 6 4 −6 7 0
Aufgabe 2. Berechnen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(a) x1+ 2x2+ 3x3= 3 (b) x1 +x2+ 2x3+ 3x4= 1 2x1+ 3x2+ 8x3= 4 3x1 −x2 −x3−2x4=−4 3x1+ 2x2+ 17x3= 1 2x1+ 3x2 −x3 −x4=−6 x1+ 2x2+ 3x3 −x4=−4
Aufgabe 3. Gegeben ist ein Polynom dritten Grades der Formf(x) =a3x3+a2x2+a1x+a0. Zu- dem sei bekannt, dass folgende Punkte auf dem Graphen vonf liegen:P1= (1,4), P2= (2,2), P3= (4,4) undP4= (5,20). Berechnen Sie die Koeffizientena0, . . . , a3vonf.
Aufgabe 4. Gegeben ist eine beliebige 2×2-Matrix
A=
a11 a12 a21 a22
.
mita11,0. Bringen SieAin Zeilenstufenform. Unter welcher Bedingung an die Koeffizienten a11, a12, a21unda22ist das GleichungssystemAx=bfür jedesb∈R2eindeutig lösbar?
Aufgabe 5. Sei A∈Rm×n eine Matrix in Zeilenstufenform und seib∈Rm. Unter welchen Be- dingungen anAundbist das lineare Gleichungssystemeindeutiglösbar,
(1) fallsm= 4 undn= 3?
(2) fallsm=n= 4?
(3) fallsm= 3 undn= 4?
Aufgabe 6. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform und berechnen Sie den Rang in Abhängigkeit vonsundt:
s 2t −(2s+t) s s+t −(4s−t) 2s 2s+ 2t −(7s−5t)
Aufgabe 7. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vont:
x1 + 10x2 + 6x3 = 7t+ 8 2x1 + 4x2 + 2x3 = 12t 2x1 + 12x2 + 7x3 = 12t+ 7
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Aufgabe 8(Wiederholung Schulstoff). Gegeben seien eine Geradegund eine EbeneEin Para- meterform durch
g: x=
−1
−5
−3
+r·
0 5 4
und E: x=
−5 7
−9
+s·
−2 1 2
+t·
3
−4 4
. (a) Bestimmen Siea∈Rso, dassP = (−1,0, a) auf der EbeneEliegt.
(b) Bestimmen Sie alle Schnittpunkte vongmitE.
