Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 7
Aufgabe 1. Betrachten Sie die Folgenan=qnundbn=nqfürq∈Q. Bestimmen Sie lim
n→∞anund
nlim→∞bnin Abhängigkeit vonq. Beweisen Sie Ihre Behauptung fürbnfürq=−1
2(für die übrigen Werte vonqkönnen Sie den Beweis weglassen).
Aufgabe 2. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen (a) an=6n2−3n+ 1
9n2+ 5 (b) bn= −3n+ 2
n2+n+ 1 (c) cn= (1−n)3 (2n+ 1)3 Aufgabe 3. Gegeben sei die Folge (an) mitan=
√ n−1
√ n+1. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert von (an).
(b) Beweisen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass es sich auch wirklich um den gesuchten Grenzwert handelt.
(c) Ab welcher ZahlN ∈Nistanfürn≥N von diesem Grenzwert weniger als 0,001 entfernt?
Aufgabe 4. Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen mit dem Sandwichsatz:
(a) an=12n+ sin2(n)
8n−1 (b) bn= n!
2n2.
Hinweis für (b):Zeigen Sie, dassn <2nfür allen∈Nmittels vollständiger Induktion.
Aufgabe 5. Bestimmen Sie den Grenzwert vonan=
√
n+ 1−√ n.
Hinweis:Verwenden Sie eine der Binomischen Formeln.
Aufgabe 6. Widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Folgen (an),(bn) durch Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels:
(a) Falls (a2n) konvergiert, so auch (an).
(b) Falls (an) und (an·bn) konvergieren, so auch (bn).
(c) Falls (an) konvergiert undan<0 für allen∈N, so gilt lim
n→∞an<0.
(d) Falls (an) und (bn) divergieren, so auch (an+bn).
Aufgabe 7. Gegeben ist die rekursive Folge a1= 2 an+1= 2− 1
an.
(a) Berechnen Sieanfürn= 2,3,4 und erraten Sie eine explizite Darstellung von (an).
(b) Beweisen Sie die Gültigkeit Ihrer Formel mittels vollständiger Induktion.
Aufgabe 8. Eine Folge (an) heißtbeschränkt, falls es einC∈R gibt mit|an|< C für allen∈N. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Jede beschränkte Folge konvergiert.
(b) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Hinweis zu (b):Machen Sie eine Zeichnung!
