Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20
Dr. Regula Krapf Abschlusstest
Dieser Test istanonym. Die Ergebnisse werden kodiert gemäß dem folgenden Kodierschema bekannt gegeben. Der Test ist in 60 Minuten zu bearbeiten und es dürfen alle Hilfsmittel ver- wendet werden.
Zu beachten bei den Multiple-Choice Aufgaben:Falsche Antworten geben 1 Punkt Abzug.
Eine negative Gesamtpunktezahl innerhalb einer Aufgabe ist aber nicht möglich. Bei Unsicher- heit können Sie bei einigen Teilaufgaben auch nichts ankreuzen, um einen Abzug zu vermeiden (dies ergibt dann 0 Punkte).
Persönlicher Code
1. Buchstabe des Vornamens Ihrer Mutter.Beispiel: Karen→K 1. Buchstabe des Vornamens Ihres Vaters.Beispiel: Thomas→T Letzter Buchstabe des Vornamens Ihres Vaters.Beispiel: Thomas→S 1. Buchstabe Ihres Geburtsortes.Beispiel: Ulm→U
Letzte Stelle des Tages Ihres Geburtstages.Beispiel: 18. März 1982→8 1. Buchstabe Ihres Einschulungsortes.Beispiel: Lübeck→L
1. Buchstabe des Mädchennamens Ihrer Mutter.Beispiel: Lange→L Letzter Buchstabe Ihres ersten Vornamens.Beispiel: Kim Luca→M Im angegebenen Beispiel wäre der persönliche Code: KTSU8LLM
Aufgabe 1(4 Punkte). Handelt es sich bei
A⇒(¬B∨(A⇔B))
um eine Tautologie? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Wahrheitstafel.
Lösung. Wir geben die Wahrheitstafel vonA⇒(¬B∨(A⇔B)) an:
A B ¬B A⇔B ¬B∨(A⇔B) A⇒(¬B∨(A⇔B))
w w f w w w
w f w f w w
f w f f f w
f f w w w w
Da alle Einträge in der Wahrheitstafel vonA⇒(¬B∨(A⇔B)) „w“ sind, handelt es sich um eine Tautologie.
2
Aufgabe 2(4 Punkte). Wählen Sie jeweils die korrekte Alternative.
richtig falsch
4
2·3 = 5⇒3·4 = 15 ist eine wahre Aussage.4
∀n∈N∃m∈N:m+ 1 =n ist eine wahre Aussage.4
Die Lösungsmenge der Ungleichung|x−1|<4 ist{x∈R| −5< x <5}.4
Die Aussage y∈Z⇒ |y2+ 3y| ≥2 soll für alleyper Widerspruchsbeweis gezeigt werden. Dann ist die Annahme, die man dann zu einem Widerspruch führen soll, y∈Z∧ |y2+ 3y|<2.Aufgabe 3(4 Punkte).
(a) Beweisen Sie: Wenn füra, b∈Zdie Zahlagerade ist undbungerade ist für, so istabgerade.
(b) Beweisen Sie per Kontrapositionsbeweis: Fallsa−bfüra, b∈Zungerade ist, so istaunge- rade oderbungerade.
Aufgabe 4(4 Punkte). Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für allen∈Ngilt 6|7n+ 5.
Lösung. Wir machen eine Induktionsbeweis.
Induktionsanfang: Fürn= 0 ist 70+ 5 = 6 = 6·1 durch 6 teilbar.
Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass 7n+ 5 für ein beliebiges, fest gewähltesn∈N durch 8 teilbar ist.
Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass 7n+1+ 5 durch 6 teilbar ist. Dann ist 7n+1+ 5 = 7·7n+ 5
= (6 + 1)7n+ 5
= 6·7n+ (7n+ 5),
was gemäß Induktionsannahme die Summe zweier durch 6 teilbaren Zahlen ist und damit auch durch 6 teilbar ist.
Aufgabe 5(4 Punkte). Wählen Sie jeweils die korrekte Alternative.
richtig falsch
4
Es gilt{1,4,6}={4,{1},6}.4
Für alle MengenM, N undP giltM∩(N\P) = (M∩N)\P.4
Es giltP(∅) =∅.4
Für alle MengenMundN gilt: AusM∪N =N folgtM⊆N. Aufgabe 6(1+3 Punkte).(a) Bestimmen Sie den Grenzwertavonan=n2n3−31.
(b) Beweisen Sie, dass (an) tatsächlich gegenakonvergiert mit Hilfe der Grenzwertdefinition.
Lösung.
(a) Es gilta= lim
n→∞an= lim
n→∞
2 1−1
n3
= 2.
3
(b) Seiε >0. Dann gilt fürn∈N
|an−2|=| 2n3
n3−1−2|=|2n3−2(n3−1)
n3−1 |=n32−1< ε! ⇐⇒n3−1> 2 ε
⇐⇒n3>2 ε+ 1
⇐⇒n > 3 r2
ε+ 1.
Wählt man nunN ∈Nals kleinste natürliche Zahl mitN > 3 q2
ε+ 1, so gilt
|an−2|= 2
n3+ 1≤ 2 n3+ 1< ε.
Aufgabe 7(4 Punkte). Wählen Sie jeweils die korrekte Alternative.
richtig falsch
Die Relation auf der Menge aller Studierenden definiert durchx∼y, fallsxundy eine gemeinsame Vorlesung besuchen, ist transitiv.
4
Keine Relation ist gleichzeitig eine Äquivalenz- und eine Ordnungsrelation.4
Die Relationx∼y:⇐⇒x2=y2definiert eine Äquivalenzrelation aufR.4
Die Relation auf der Menge der OrtschaftenOdefiniert durch {(x, y)∈O2|die Postleitzahl vonxist kleiner gleich derjenigen vony} ist eine Ordnungsrelation.Aufgabe 8(4 Punkte). Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus in Abhängigkeit vona:
x1− x2+ 4x3= 1 3x1−2x2+ 3x3= 4 5x1−3x2+ax3= 7 Lösung.
1 −1 4 1 3 −2 3 4 5 −3 a 7
→
1 −1 4 1
0 1 −9 1
0 2 a−20 2
→
1 −1 4 1
0 1 −9 1
0 0 a−2 0
Nun gibt es zwei Fälle:
1. Fall: a,2. Dann ist die Gleichung der letzten Zeile unerfüllbar, alsoL=∅.
2. Fall: a= 2. Dann folgt aus der zweiten Zeilex2= 1 + 9x2und aus der erstenx1= 1 +x2− 4x3= 2 + 5x3, alsoL={(x1, x2, x3)∈R3|x1= 2 + 5x3, x2= 1 + 9x3}.
Aufgabe 9(4 Punkte). Wählen Sie jeweils die korrekte Alternative.
richtig falsch
