Vorkurs Mathematik im Wintersemester 2019/20
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 7
Aufgabe 1. Betrachten Sie die Folgenan=qnundbn=nqfürq∈Q. Bestimmen Sie lim
n→∞anund
nlim→∞bnin Abhängigkeit vonq. Beweisen Sie Ihre Behauptung fürbnfürq=−1
2. Lösung. Es gilt
an→
0, −1< q <1 1, q= 1
bn→
0, q <0 1, q= 0 und (an) divergiert fürq≤ −1 undq >1, und (bn) divergiert fürq >0.
Wir beweisen die Behauptung fürbnfürq=−1
2. Fürq=−1
2 giltbn=n−12 = √1
n. Seiε >0. Dann gilt
|bn−0|= 1
√ n
< ε! ⇐⇒
√ n >1
ε ⇐⇒n > 1 ε2. Sei alsoN ∈NmitN > ε12. Dann gilt für allen≥N die Ungleichung
|bn−0|= 1
√ n
≤ 1
√ N < ε.
Aufgabe 2. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen (a) an=6n2−3n+ 1
9n2+ 5 (b) bn= −3n+ 2
n2+n+ 1 (c) cn= (1−n)3 (2n+ 1)3 Lösung. Es gilt:
(a) lim
n→∞an= lim
n→∞
6n2−3n+ 1 9n2+ 5 ·
1 n2 1 n2
= lim
n→∞
6−3
n+n12
9 +n52
=6 9=2
3. (b) lim
n→∞bn= lim
n→∞
−3n+ 2 n2+n+ 1·
1 n2 1 n2
= lim
n→∞
−3
n+n22
1 +1n+1n =0 1= 0 (c) lim
n→∞cn=
nlim→∞
n−1 2n+ 1
3
=
nlim→∞
1 n−1 2 +n1
3
=
−1 2
3
=−1 8 Zu beachten ist, dass bei (3) Zähler und Nenner jeweils mit 1n erweitert wurden.
Aufgabe 3. Gegeben sei die Folge (an) mit an=
√ n−1
√ n+ 1.
(a) Bestimmen Sie den Grenzwert von (an) mit Hilfe der Grenzwertsätze.
(b) Beweisen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass es sich auch wirklich um den gesuchten Grenzwert handelt.
(c) Ab welcher ZahlN ∈Nistanfürn≥N von diesem Grenzwert weniger als 0,001 entfernt?
2
Lösung.
(a) Es gilt
nlim→∞an= lim
n→∞
√ n−1
√ n+ 1·
√1 n
√1 n
= lim
n→∞
1−√1
n
1 +√1
n
= 1 wegen Aufgabe 1.
(b) Seiε >0. Wir müssen zeigen, dass es einN ∈Ngibt mit|an−1|< εfür allen≥N. Es gilt
|an−1|=
√ n−1
√ n+ 1
−
√ n+ 1
√ n+ 1
=
−2
√ n+ 1
= 2
√ n+ 1. Nun gilt
|an−1|< ε⇐⇒ 2
√
n+ 1< ε⇐⇒
√
n+ 1>2
ε ⇐⇒
√ n >2
ε−1.
Wir wählen also N ∈Nals kleinste natürliche Zahl mitN > (2ε −1)2. Dann gilt nach der obigen Abschätzung für jedesn≥N
|an−1|= 2
√ n+ 1
≤ 2
√
N+ 1< ε.
(c) Wir setzenε= 0,001 = 10001 . Dann istN gemäß (b) die kleinste natürliche Zahl mitN >
( 21
1000
−1)2= (2000−1)2= 4000000−4000 + 1 = 3996001, alsoN = 3996002.
Aufgabe 4. Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen mit dem Sandwichsatz:
(a) an=12n+ sin2(n)
8n−1 (b) bn= n!
2n2.
Hinweis für (b):Zeigen Sie, dassn <2nfür allen∈Nmittels vollständiger Induktion.
Lösung.
(a) Es gilt sin2(n)∈[0,1]. Somit folgt 12n
8n−1≤an≤ 12n+ 1 8n−1 . Da 32= limn→∞ 12n
8n−1= lim
n→∞
12n+1
8n−1 =32, folgt lim
n→∞an=32.
(b) Wir folgen dem Hinweis und zeigen mittels vollständiger Induktion, dassn < 2n für alle n∈N.
• Induktionsanfang:Wegen 0<1 = 20gilt die Behauptung fürn= 0.
• Induktionsannahme:Wir nehmen an, dassn <2nfür ein beliebiges, fest gewähltesn∈N gilt.
• Induktionsschluss:Wir zeigen, dassn+ 1<2n+1. Es gilt n+ 1IA< 2n+ 1<2n+ 2n= 2·2n= 2n+1. Es gilt 2n2= (2n)n= 2| {z }n·. . .·2n
n-mal
. Also erhalten wir die Abschätzung
0≤bn= n!
2n2 = 1·2·3·. . .·n
2n·2n·2n·. . .·2n = 1 2n· 2
2n
|{z}
<1
· 3 2n
|{z}
<1
·. . .· n 2n
|{z}
<1
≤ 1 2n =
1 2
n
.
3
Die letzte Abschätzung folgt daraus, dass n <2n für allen∈Nund daher 2kn <1 für alle k≤n. Da lim
n→∞0 = lim
n→∞
1 2
n
= 0, folgt lim
n→∞bn= 0.
Aufgabe 5. Bestimmen Sie den Grenzwert vonan=
√ n+ 1−
√ n.
Hinweis:Verwenden Sie eine der Binomischen Formeln.
Lösung. Wir folgen dem Hinweis und verwenden die 3. Binomische Formel:
(
√ n+ 1−
√ n)·(
√ n+ 1 +
√
n) =n+ 1−n= 1
⇒an=
√ n+ 1−
√
n= 1
√
n+ 1 +√ n. Nun gilt 0≤an≤ √1
n =n−12 und, dan−12 gemäß Aufgabe 3 gegen 0 konvergiert, folgt nach dem Sandwichsatz lim
n→∞an= 0.
Aufgabe 6. Widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Folgen (an),(bn) durch Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels:
(a) Falls (a2n) konvergiert, so auch (an).
(b) Falls (an) und (an·bn) konvergieren, so auch (bn).
(c) Falls (an) konvergiert undan<0 für allen∈N, so gilt lim
n→∞an<0.
(d) Falls (an) und (bn) divergieren, so auch (an+bn).
Lösung. Mögliche Gegenbeispiele sind (es gibt auch viele weitere!):
(a) an= (−1)n; dann gilta2n= (−1)2n= 1 für allen∈N, also konvergiert (a2n) gegen 1, aber (an) ist divergent.
(b) an=n12, bn=n; dann istan·bn=1n, also konvergieren (an) und (an·bn), aber (bn) divergiert.
(c) an=−1
n; dann giltan<0 für allen∈N, aber lim
n→∞= 0.
(d) an=n, bn=−n; dann sind (an),(bn) divergent, aberan+bn= 0 für allen∈N. Aufgabe 7. Gegeben ist die rekursive Folge
a1= 2 an+1= 2− 1
an.
(a) Berechnen Sieanfürn= 2,3,4 und erraten Sie eine explizite Darstellung von (an).
(b) Beweisen Sie die Gültigkeit Ihrer Formel mittels vollständiger Induktion.
Lösung.
(a) Es gilta2=32, a3=43, a4=54. Die Vermutung lautet: Für allen∈Ngiltan=n+1n . (b) • Induktionsanfang:Es gilta1= 2 =1+11 , also stimmt die Behauptung fürn= 1.
• Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass an = n+1n für ein beliebiges, fest gewähltes n∈N\ {0}.
• Induktionsschluss:Zu zeigen istan+1=n+2n+1. Es gilt an+1= 2− 1
an
IA= 2− 1
n+1 n
= 2− n
n+ 1=2(n+ 1)−n
n+ 1 = n+ 2 n+ 1.
4
Aufgabe 8. Eine Folge (an) heißtbeschränkt, falls es einC∈R gibt mit|an|< C für allen∈N. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Jede beschränkte Folge konvergiert.
(b) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Hinweis:Verwenden Sie bei einer der Aussagen die Dreiecksungleichung.
Lösung.
(a) Gegenbeispiel:an = (−1)n ist beschränkt wegen|an|= 1<2 für allen∈N, aber (an) konver- giert nicht.
(b) Beweis.Sei (an) konvergent mit lim
n→∞an=a. Wähleε= 1 (eine beliebige andere positive Zahl geht auch). Dann gibt es ein N ∈ N, sodass |an−a| <1 für alle n ≥N. Insbesondere gilt
|an|=|an−a+a| ≤ |an−a|+|a|<1 +|a|für allen≥N. SetzeC:= max{|a1|,|a2|, . . . ,|aN−1|,|a|+ 1}. Dann gilt|an| ≤Cfür allen∈N.
